Ist die Menge eine Basis von V

Question

Ich soll zeigen, dass die Menge M:={(1,2,3,3), (2,0,1,-1), (-1,0,0,1), (0,2,3,0)} eine Basis von V=ℝ^4 ist.

Also, die Vektoren aus M sind definitiv ∈ ℝ^4. Ich muss nun zeigen, dass sich alle v_i ∈ ℝ^4 als linear kombination der Vektoren in der Menge M darstellen lassen(die Menge ein Erzeugendensystem ist) und die Vektoren aus M linear unabhängig sind. Für letzteres müsste ich, doch nur überprüfen ob es zum Lösen des Gleichungssystems, nur eine triviale Lösung gibt:

s*(1,2,3,3)+t *(2,0,1,-1)+u* (-1,0,0,1)+v*(0,2,3,0)=(0,0,0,0)

Wie zeige ich, dass M ein Erzeugendensystem ist, kann ich mir einfach einen bel. Vektor aus V(a,b,c,d) nehmen und diesen als kombi darstellen?

a*(1,2,3,3)+b *(2,0,1,-1)+c* (-1,0,0,1)+d*(0,2,3,0)=(a,b,c,d)

Answer 1

wenn du gezeigt hast, dass die vier Vektoren des ℝ⁴ linear unabhängig sid, bist du fertig.

Vier linear unabhängige  Vektoren im ℝ⁴ bilden immer ein Erzeugendensystem, und damit eine Basis.

Gruß Wolfgang

Comments

was wäre mit:

(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0), (0,0,0,0)

So könnte man bspw. (0,0,0,4) nicht als linearkombination darstellen oder? Und die Vektoren sind linear unabhängig...aber es ist kein Erzeugendensystem