Äquivalenz von bedingten Wahrscheinlichkeiten

Question

Zeigen Sie, dass für Ereignisse A, B aus Omega die folgenden Aussagen äquivalent sind:

a) Es gilt P(B) > 0 und P(A | B) > P(A).
b) Es gilt P(B^C) > 0 und P(A | B^C) < P(A).

Bisher habe ich mit der Definition von der bedingten Wahrscheinlichkeit herum versucht, aber ich komme nicht weiter. Hilfe, bitte!

Answer 1

Sei \(P(B)>0\) und \(P(A | B) > P(A)\). Zunächst zeigen wir, dass \(P(B^c) > 0\). Dies ist äquivalent zu \(P(B) < 1\). Es gilt \(P(B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A|B)} < P(B|A) \leq 1\).
Bleibt zu zeigen, dass \(P(A|B^c) < P(A)\). Es gilt
$$ P(A|B^c) = \frac{P(A)P(B^c|A)}{P(B^c)} = \frac{P(A)\big( 1-P(B)P(A|B)/P(A) \big)}{P(B^c)} = \frac{P(A) - P(B)P(A|B)}{P(B^c)} < \frac{P(A)-P(B)P(A)}{P(B^c)} = \frac{P(A)\big(1-P(B)\big)}{1-P(B)} = P(A). $$

Rückrichtung geht analog.