Wann immer du einen Term hast, von dem der Grenzwert gebildet werden soll, und wenn dieser Term die algebraische Verknüpfung mehrerer Terme mit bekannten Grenzwerten ist, dann darfst du quasi diese Grenzwerte zuerst ausrechnen und dann erst die algebraischen Operationen durchführen.
Das heißt, falls \( \lim \limits _ { x \rightarrow x _ { 0 } } a ( x ) < \infty \) und \( \lim \limits _ { x \rightarrow x _ { 0 } } b ( x ) < \infty \), dann gilt:
$$ \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } ( a ( x ) + b ( x ) ) = \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } a ( x ) + \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } b ( x ) $$
$$ \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } \left( a ( x ) · b ( x ) \right) = \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } a ( x ) · \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } b ( x ) $$
Aus diesen beiden Grenzwertsätzen für die Verknüpfungen Addition und Multiplikation lassen sich strenggenommen auch die weiteren Grenzwertsätze herleiten, für Quotienten, Potenzen und allgemein Superpositionen von stetigen Funktion. (Also z.B. e^{sin(x)})
Es ist aber wichtig, dass die Grenzwerte der Teilterme nicht uneigentliche Grenzwerte sind (also gegen unendlich gehen), dann gelten die Grenzwertsätze NICHT.
