Kann jemand meine Rechnung überprüfen? (Quotientenkriterium)

Question

Aufgabenstellung war:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums alle x ∈ℝ, für die die folgenden
Reihen konvergieren.

Also für alle x ∈ℝ , durfte ich den Betrag einfach als positiv betrachten, obwohl k als positive Zahl gekennzeichnet wurde? Bin ich fertig?

Comments

sry, verschrieben

.....obwohl k nicht eindeutig als positive Zahl gekennzeichnet ist....

---

Aufgabenstellung war:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums alle x ∈ℝ, für die die folgenden
Reihen konvergieren.

Wie muss man, wenn man ein solches Ergebnis bekommt weitermachen? Kann ich überhaupt den limes von einem Betrag so berechnen? Wie mache ich jetzt alg. weiter bzw. wie mache ich die Fallunterscheidung? Was sind die nächsten Schritte um die Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Hi,

die Betragsstriche bei \( x \) darf man nicht einfach weg lassen. Du willst ja gerade die \( x \in \mathbb{R} \) bestimmen, für die die Reihe konvergiert. Und das ist der Fall, wenn \( \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| < 1 \) gilt.  Die Rechnung ist soweit richtig, es kommt dann als Ergebnis heraus, die Reihe konvergiert für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < 1 \) Für \( x = 1 \) gilt das Quotientenkriterium nicht, da muss man separate Untersuchungen anstellen. Für \( x = 1 \) folgt, die Reihe sieht wie folgt aus
$$  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} $$ und die konvergiert gegen \( \frac{\pi}{6} \) siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Basler_Problem oder
https://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

Für \( x = -1 \) sieht die Reihe so aus $$  \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k}\frac{1}{k^2} $$ Das ist eine alternierende Reihe die nach dem Leibnitz Kriterium konvergiert und zwar gegen \( -\frac{\pi^2}{12} \). Insgesamt gilt also, die Reihe $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} x^k $$ konvergiert für \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| \le 1 \)

Comments

Danke, ich kriege den Rest fast hin. Mein Problem ist die Schreibweise, kann ich einfach immer den limes vom Betrag schreiben und am Ende die Fallunterscheidung machen?

Kann ein Bild schicken, falls du nicht verstehst was ich meine :)

Answer 2

Jede stetige Funktion kann mit dem Limes vertauscht werden, also insbesondere gilt

$$\lim_{k\rightarrow\infty}|f(k)|=\left|\lim_{k\rightarrow\infty}f(k)\right|$$

Beim Quotientenkriterium geht es doch darum, dass

$$\lim_{k\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|<1,$$

nicht? (wir haben das Quotientenkriterium anders eingeführt, wird aber schon aufs selbe führen)

Dann muss einfach |x|<1 sein.