Ableitung f(x)=((1-x)^2)/((1+x)^2)

Question

Hallo Mathecracks, ich benötige Hilfe bei folgender Funktion:

(1-x)²/(1+x)²

Ich habe mit Hilfe der Quotientenregel abgeleitet:

u=(1-x)² , u' = 2(x-1)

v=(1+x)² , v'= 2(x+1)

dies nach der Rechenregel (u' * v - u * v')/ v² zusammen gefügt.

Mein Ergebnis ist: 4(x² - 1) / (1+x)³

richtiges Ergebnis wäre aber: 4(x-1)/(1+x)³

Ich finde meine Fehler nicht , bitte um Hilfe.

Answer 1

Ich sehe ja Deine Rechnung nicht , Vermutlich ist der Zähler falsch umgeformt.

Zähler: (2x-2)(1+x) -( 2(1-2x-x^2))

=2x +2 x^2 -2 -2x -2 +4x -2x^2

=-4 +4x

=4(x-1)

Comments

Vielen dank, trotz meiner fehlenden Angaben, konnte ich den Fehler eingrenzen.

Bei mir sieht der Zähler so aus:

(2x-2)(1+x)² - 2(x+1)(1-x)²

Ich habe jetzt (x+1) ausgeklammert und gekürzt. Interessant ist glaube ich der zweite Teil.

=(2x-2)(1+x) - (2(x+1)(1-x))

=2x +2x² -2 -2x - (2x - 2x² +2 -2x)
=2x² -2 + 2x² -2
=4(x² -1)

Beim zweiten Teil habe ich wohl ein Fehler. Ich nutze da die binomiche Formel, entweder da ein Fehler?

(2-2x)(1+x)² - 2(x+1)(1-x)²  mach ich zu: (2-2x)(1+x)(1+x)-2(x+1)(x+1)(1-x)

ich vermute da liegt irgendwo ein Fheler :(

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dies nach der Rechenregel (u' * v - u * v')/ v² zusammen gefügt.

Mein Ergebnis ist: 4(x² - 1) / (1+x)³

v^2 ist aber ( 1 + x)^4

f ´( x ) = 4(x² - 1) / (1+x)^4

dann wandelen wir noch ( x^2 - 1) in ( x + 1) * ( x - 1 ) um

[ 4 * (x - 1) * ( x + 1 ) ] / (1+x)^4
4 * ( x - 1 )  / (1+x)^3

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es tut mir leid, irgendwo ist da noch ein Fehler, denn ich hab den Nenner (x+1)⁴ schon so gehabt, aber schon vorher gekürzt. Ich schreib jetzt nochmal jeden einzelnen Schritt auf, um den Fehler zu finden.

(2x-2)(1+x)² - (1-x)²(2x+2)  / (1+x)⁴     nun schreibe ich um

(2x-2)(1+x)(1+x) - (1+x)(1-x)(2x+2) / (1+x)⁴  nun kürze ich Zähler und Nenner mit (1+x)

(2x-2)(1+x) - (1-x)(2x+2) / (1+x)³  nun fasse ich den Zähler zusammen, wie in den vorhigen Postings besprochen

(2x+2x² -2-2x) - (2x+2 -2x² -2x) / (1+x)³  nun der Übersichtlichkeit wegen, erstmal in den Klammern

(2x² -2) - (2 -2x²) / (1+x)³

2x² -2 - 2 + 2x² / (1+x)³  zusammen fassen

4x² -4 / (1+x)³   ausklammern und den letzten Hinweis von georgborn aufgreifend

4(x+1)(x-1) / (1+x)³    wieder kürzen (1+x)
 
4(x-1) / (1+x)²

Ergebnis: falsch :(

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(2x-2)(1+x)² - (1-x)² (2x+2)  / (1+x)⁴     nun schreibe ich um

(2x-2)(1+x)(1+x) - (1+x)(1-x)(2x+2) / (1+x)⁴ 

(1-x)^2 = ( 1+x)*(1-x) ?

2.Binomische Formel = 3.Binomische Formel ?

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jawohl, vielen dank für die Sensibilisierung, was so eine Potenz in oder außerhalb der Klammer bewirkt :(

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So ist es.

Hier zur Aufheiterung einen Witz zum Thema : Ein BWL- ( Betriebswirtschaftslehre ), ein Physik- und ein Mathestudent wollen Ihr Zwischenexamen feiern und fliegen für ein paar Tage nach Mallorca.

  Bei der abendlichen Feier bricht im Hotel ein Feuer aus. Die Studenten haben aus Ihrem Zimmer
keinen Fluchtweg mehr. . Zum Innenhof hin liegt ein Swimming-Pool der über den
Balkon erreichbar wäre.

  Der BWL-Student klettert über das Balkongitter und springt ab. Voll daneben.

  Der Physikstudent setzt sich hin, rechnet etwas, klettert übers Balkongitter
und springt ab. Mitten in den Pool.

  Der Mathestudent rechnet noch länger, klettert übers Balkongitter, springt ab
und verschwindet nach oben. Als man seine Berechnungen später fand entdeckte man :
Vorzeichenfehler. 

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der Witz ist, gut merk ich mir :D

Answer 2

Hi, man kann auch zunächst den Funktionsterm etwas ableitungsfreundlicher gestalten und dann die Quotientenregel mit der Kettenregel kombinieren. Eine dementsprechende, einfache Rechnung könnte so aussehen:$$ f(x) = \frac { (1-x)^2 }{ (1+x)^2 } = \left( \frac { x-1 }{ x+1 } \right)^2 \\\,\\ f'(x) = 2 \cdot \left( \frac { x-1 }{ x+1 } \right) \cdot \frac { 1 \cdot (x+1)-(x-1) \cdot 1 }{ (x+1)^2 } = \frac { 4 \cdot (x-1) }{ (x+1)^3} $$

Comments

Stimmt, vielen dank für den Hinweis, da wäre es mir wohl auch einfacher gegangen. Sieht sehr übersichtlich aus, vielen Dank. Versuche dafür ein Auge zu bekommen, damit ich sowas ehr sehe. :)