Stetige Differenzierbarkeit von f

Question

In meiner Aufgabe soll ich zeigen, dass die Funktion f(x) = IxI^p , für p>2 zweimal stetig differenzierbar ist.

stetig diffbar bedeutet ja das ich differenzieren kann und die Ableitung stetig ist, oder?

Ich weiß, dass die Betragsfkt in 0 nicht diffbar ist. Macht das dann hier auch Probleme?

Und kann ich dann einfach schreiben, dass die Ableitungen wie folgt aussehen:

f '(x)= p IxI^p-1 und f "(x)= p (p-1) IxI^p-2  

Oder ist das vielleicht sogar falsch?

Wie kann ich dies mit der Definition zeigen? (Habe da noch ein paar Probleme)

Bei der Stetigkeit der Ableitungen bräuchte ich auch noch Hilfe.

Kann man hier dann verwenden, das differenzierbarkeit impliziert? Dann müsste ich die Stetigkeit ja nur noch für f "(x) zeigen, nicht wahr?

Comments

Sry meinte natürlich:

Kann man hier dann verwenden, das differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert? Dann müsste ich die Stetigkeit ja nur noch für f "(x) zeigen, nicht wahr?

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Kleine Bemerkung am Rande: Für \(p \geq 2\) ist

$$ f'(x) = sgn(x) \cdot p \cdot |x|^{p-1} $$

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und die zweite ableitung wäre dann

sgn(x)p(p-1)IxI^p-2  ?

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Nein, die zweite Ableitung hattest du schon richtig ;).

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aso okay :)

aber warum denn hier nicht der sgn(x) ?

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Für \(x \neq 0 \) ist die diffbarkeit der Funktion denke ich mal klar: Leitest du nochmal ab, so sollte nach der Produktregel und der Tatsache, dass \( sgn^2(x) = 1\) klar sein, dass deine Ableitung rauskommt. Das alles natürlich nur am Rande der Aufgabe.

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Da mathef wohl gerade nicht da ist, frage ich mal bei dir:

in x=0 habe ich irgendwie probleme die diffbarkeit zu zeigen.

wenn ich den rechts- und linksseitigen grenzwert der ableitung an 0 bilde, dann habe ich ei beidem null raus.

ich bin mir unsicher ob das so stimmen kann.

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Ist eine Funktion auf \(\mathbb{R}\) an einer Stelle stetig, links- und rechtsseitig differenzierbar, d.h. der links- und rechtsseitige Grenzwert des Differentialquotienten existiert jeweils an dieser Stelle, und sind beide Grenzwerte gleich, so ist die Funktion differenzierbar an dieser Stelle.

Wenn ihr das nicht schon besprochen habt musst du es leider erstmal zeigen ;).

Answer 1

In meiner Aufgabe soll ich zeigen, dass die Funktion f(x) = IxI^p , für p>2 zweimal stetig differenzierbar ist.

stetig diffbar bedeutet ja das ich differenzieren kann und die Ableitung stetig ist, oder?

JA

Ich weiß, dass die Betragsfkt in 0 nicht diffbar ist. Macht das dann hier auch Probleme?

Und kann ich dann einfach schreiben, dass die Ableitungen wie folgt aussehen:

f '(x)= p IxI^p-1 und f "(x)= p (p-1) IxI^p-2  

Oder ist das vielleicht sogar falsch?  

JA

für x>0 ist das, was du geschrieben hast richtig.

für x<0 ist ja |x| = -x  also
f '(x)= - p IxI^p-1 und f "(x)= p (p-1) IxI^p-2    

Wie kann ich dies mit der Definition zeigen? (Habe da noch ein paar Probleme)

Das musst du nur für die Stelle x=0 .

Bei der Stetigkeit der Ableitungen bräuchte ich auch noch Hilfe.

Kann man hier dann verwenden, das differenzierbarkeit impliziert? Dann müsste ich die Stetigkeit ja nur noch für f "(x) zeigen, nicht wahr?     JA

Comments

> Wie kann ich dies mit der Definition zeigen? (Habe da noch ein paar Probleme) 

> Das musst du nur für die Stelle x=0 . Aber gilt das denn hier? (Weil es bei der "normalen" Betragsfkt ja nicht gilt.) Und wie kann ich kurz begründen das ich es nur in 0 prüfen muss?

>  f '(x)= - p IxI^p-1 und f "(x)= p (p-1) IxI^p-2 warum ist denn hier bei f " (x) kein minus dazu gekommen?

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Sind folgende Ableitungen, denn korrekt:

f '(x)= px^p-1 , x>0

p(-x)^p-1 , x<0

f "(x)= p(p-1)x^p-2 ,x>0

p(p-1)(-x)^p-2 ,x<0

wie prüfe ich denn ob f, und f' in 0 diffbar sind?

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Bei f an der Stelle 0 kannst du doch so vorgehen:

(f (o+h) - f(0) ) / h = |h|^p / h =  sgn(h) * |h| ^p-1  und für h gegen 0

geht das gegen 0 wegen p>2 .

Also ist f bei 0 diffb.

f ' an der Stelle 0:

(f ' (o+h) - f ' (o) ) / h  =  sgn(h) * p * | h | ^p-1    /  h   =   p * | h | ^p-2  und

für h gegen 0 geht das gegen 0 wegen p>2 .   Also f ' ' ( 0) = 0 .

Also ist f '  bei 0 diffb.  und damit f ' dort auch stetig .

Und f ' ' (x) ist bei x=0 auch stetig da $$ \lim_{x\to 0} f '' (x) = f ''(0) = 0 $$

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Die folgenden Schritte kann ich leider nicht zu 100 Prozent nachvollziehen:

1. |h|^p / h =  sgn(h) * |h| ^p-1 

2. sgn(h) * p * | h | ^p-1    /  h   =   p * | h | ^p-2

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. |h|^p / h =  sgn(h) * |h| ^p-1   für h>0 ist es doch offenbar:

h^p / h = h ^p-1