Bestimmen Sie b und eine Koordinatengleichung der Ebene E.

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte \( \mathrm{X}(3 / 0 / 0), \mathrm{Z}(0 / 0 / 3) \) und \( \mathrm{P}(4 /-1 / 4) \). \( \mathrm{X} \) und \( \mathrm{Z} \) sind Achsenschnittpunkte einer Ebene \( \mathrm{E} \).

Wie muss der dritte Achsenschnittpunkt \( \mathrm{Y}(0 / \mathrm{b} / 0) \) von \( \mathrm{E} \) gewählt werden, damit die Ebene \( \mathrm{E} \) vom Punkt \( \mathrm{P} \) den Abstand 3 hat?

Bestimmen Sie b und eine Koordinatengleichung der Ebene \( \mathrm{E} \).

Ich denke man muss diese Aufgabe mit der HNF lösen, doch wie muss ich vorgehen?

Answer 1

X[3, 0, 0]

Y[0, b, 0]

Z[0, 0, 3]

XY = [-3, b, 0]

XZ = [-3, 0, 3]

Normalenvektor n = [-3, b, 0] x [-3, 0, 3] = [3·b, 9, 3·b] = 3*[b, 3, b]

Koordinatengleichung
E: b*x + 3*y + b*z = 3b

Abstandsform

d = |b*x + 3*y + b*z - 3b|/√(b^2 + 3^2 + b^2)

d = |b*4 + 3*(-1) + b*4 - 3b|/√(b^2 + 3^2 + b^2) = 3
|5·b - 3|/√(2·b^2 + 9) = 3

b = - 12/7 ∨ b = 6

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Wäre die Koordinatengleichung nicht aber  E:3bx+ 9y+ 3bz+ d=0 ??

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Was wäre denn bei dir das d ?

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hmm...ich weiss auch nicht....aber wie komme ich auf diese Gleichung E: b*x + 3*y + b*z = 3b ??

was ist das d und wie komme ich auf die = 3b?

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Links steht x vektor mal Normalenvektor.

Und rechts steht ein Punkt der Ebene mal Normalenvektor. Als Normalenvektor habe ich [b, 3, b] benutzt.

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ahh stimmt, jetzt verstehe ich es =)

doch ich habe noch eine kleine Fraged  und zwar bei diesem |b*4 + 3*(-1) + b*4 - 3b|/√(b2 + 32 + b2) = 3 wie weiss ich das x=4 , y=-1 und z=4 ist?

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Da musst du für x,y und z deinen Punkt P einsetzen.