Beweis folgender Relation

Question

Beweisen Sie die folgende Relation:

$$ \left| \frac { sin(x_1)-sin(x_2) }{ x_1-x_2 }  \right| \le \quad 1 $$

Danke für die Hilfe!

Answer 1

ziemlich bekannt ist ja für alle a aus IR

| sin(a) |  ≤  | a |           #

und  sin(a) - sin(b) = 2 cos( a+b)/2 ) sin ( a-b) / 2 )  ##
(kann man mit Add. theorem beweisen)

Dann ist | ( sin(x1 )  - sin ( x2) )  /  ( x1 - x2 ) |

=   | ( sin(x1 )  - sin ( x2) ) |  /   |  ( x1 - x2 ) |      wegen ##

=   |2 * cos( (x1 +  x2) / 2  )*   sin( (x1 -  x2) / 2  ) |  /   |  ( x1 - x2 ) |

und dann # anwenden