Zwischenwertsatz und Stetigkeit anwenden

Question

Morgen :)

Aufgabe:

Sei f: [0,1] → ℝ eine stetige Funktion mit f(0)×f(1)<0 und f(1)+f(0)≠0.

Zeigen Sie, dass es ein ξ∈[0,1] gibt mit f(ξ)=f(0)+f(1)

Hinweis: Betrachten sie dabei die Funktion:

$$g(x)=\frac { f(x) }{ f(0)+f(1) } -1,\quad x\epsilon [0,1]$$

Answer 1

wegen f(1)+f(0)≠0. ist g auf [0;1] definiert und stetig.

g(0) = ............  = -f(1) / ( f(1)+f(0))  und

g(1)=..........= -f(0) / ( f(1)+f(0))

da f(0)×f(1)<0, haben  f(0)und f(1) unterschiedliche Vorzeichen und damit auch   - f(0)und  - f(1)

und damit auch g(0) und g(1). 

Also gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein x aus [0;1]mit g(x) = 0

also   f(x) / ( f(1)+f(0))     -  1   = 0     also   f(x) =  f(1)+f(0)    q.e.d.

Comments

Danke :)
Ich ahbe nur noch eine Frage.. wie kommst du auf:

g(0) = ............  = -f(1) / ( f(1)+f(0)) ?

Müsste nicht -f(0) da stehen, weil du ja 0 für x einsetzt?

---

Oder habe ich etwas falsch verstanden? :/

---

g(0) = f(0) /  ( f(1)+f(0))    -   1

=  f(0) /  ( f(1)+f(0))    - ( f(1)+f(0))   / ( f(1)+f(0))  

= (f(0)   - ( f(1)+f(0)) )  / ( f(1)+f(0))  

= (f(0)   -  f(1)  -  f(0))   / ( f(1)+f(0)) 

=      -f(1) / ( f(1)+f(0)   )