Aufgabe:
Zeigen Sie mit Zwischenwertsatz, dass die Gleichung über eine reelle Lösung verfügt.
e^(-x) * ln(1+e^x) * (x² - 2x) - (x-1)/(x+1) = 0
Problem/Ansatz:
Laut unseren Lemmas ist das Produkt, die Summe und die Komposition von stetigen Funktionen immernoch stetig.
e-Funktionen sind wegen unendlichem Konvergenzradius stetig (also auch e^(-x)).
ln(1+e^x) ist stetig weil ln die Umkehrfunktion von e ist.
(x² - 2x) ist ein Polynom und damit stetig.
(x-1)/(x+1) gibt den Quotienten zweier Polynome und ist damit auch stetig, weil Polynome stetig sind.
Warum hat die Funktion an x = -1 aber eine Unstetigkeitsstelle? Es sind doch alle Teilfunktionen stetig?
Zudem: Kann ich den Zwischenwertsatz dann überhaupt noch anwenden? Wenn ja, wie komme ich nun "einfach" auf eine Idee, welche a und b ich wähle, um den Zwischenwertsatz anwenden zu können? Möglichkeiten im Kopf durchgehen ist etwas komplex bei der Funktion und ausprobieren wäre glaube falsch, oder?