0 Daumen
242 Aufrufe

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Zwischenwertsatz, dass die Gleichung über eine reelle Lösung verfügt.

e^(-x) * ln(1+e^x) * (x² - 2x) - (x-1)/(x+1) = 0


Problem/Ansatz:

Laut unseren Lemmas ist das Produkt, die Summe und die Komposition von stetigen Funktionen immernoch stetig.

e-Funktionen sind wegen unendlichem Konvergenzradius stetig (also auch e^(-x)).

ln(1+e^x) ist stetig weil ln die Umkehrfunktion von e ist.

(x² - 2x) ist ein Polynom und damit stetig.

(x-1)/(x+1) gibt den Quotienten zweier Polynome und ist damit auch stetig, weil Polynome stetig sind.

Warum hat die Funktion an x = -1 aber eine Unstetigkeitsstelle? Es sind doch alle Teilfunktionen stetig?


Zudem: Kann ich den Zwischenwertsatz dann überhaupt noch anwenden? Wenn ja, wie komme ich nun "einfach" auf eine Idee, welche a und b ich wähle, um den Zwischenwertsatz anwenden zu können? Möglichkeiten im Kopf durchgehen ist etwas komplex bei der Funktion und ausprobieren wäre glaube falsch, oder?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

(x-1)/(x+1) gibt den Quotienten zweier Polynome und ist damit auch stetig, weil Polynome stetig sind

Zeichne mal die Funktion mit einer Wertetabelle. Bei x = -1 existiert eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, weil bei einem Bruch nicht durch 0 geteilt werden darf.

Avatar von 488 k 🚀

Ah achso! Aber eine nicht-definierte Stelle kann doch dann auch keine Unstetigkeitsstelle sein, oder?

Also ist die Funktion trotzdem stetig? :0

Der Zwischenwertsatz fordert ein abgeschlossenes Intervall ohne Definitionslücken. Und du kannst die Funktion an der Definitionslücke nicht stetig ergänzen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community