Zwischenwertsatz anwenden aber f(x) hat unerwartete Unstetigkeitsstelle, wieso?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Zwischenwertsatz, dass die Gleichung über eine reelle Lösung verfügt.

e^(-x) * ln(1+e^x) * (x² - 2x) - (x-1)/(x+1) = 0

Problem/Ansatz:

Laut unseren Lemmas ist das Produkt, die Summe und die Komposition von stetigen Funktionen immernoch stetig.

e-Funktionen sind wegen unendlichem Konvergenzradius stetig (also auch e^(-x)).

ln(1+e^x) ist stetig weil ln die Umkehrfunktion von e ist.

(x² - 2x) ist ein Polynom und damit stetig.

(x-1)/(x+1) gibt den Quotienten zweier Polynome und ist damit auch stetig, weil Polynome stetig sind.

Warum hat die Funktion an x = -1 aber eine Unstetigkeitsstelle? Es sind doch alle Teilfunktionen stetig?

Zudem: Kann ich den Zwischenwertsatz dann überhaupt noch anwenden? Wenn ja, wie komme ich nun "einfach" auf eine Idee, welche a und b ich wähle, um den Zwischenwertsatz anwenden zu können? Möglichkeiten im Kopf durchgehen ist etwas komplex bei der Funktion und ausprobieren wäre glaube falsch, oder?

Answer 1

(x-1)/(x+1) gibt den Quotienten zweier Polynome und ist damit auch stetig, weil Polynome stetig sind

Zeichne mal die Funktion mit einer Wertetabelle. Bei x = -1 existiert eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, weil bei einem Bruch nicht durch 0 geteilt werden darf.

Comments

Ah achso! Aber eine nicht-definierte Stelle kann doch dann auch keine Unstetigkeitsstelle sein, oder?

Also ist die Funktion trotzdem stetig? :0

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Der Zwischenwertsatz fordert ein abgeschlossenes Intervall ohne Definitionslücken. Und du kannst die Funktion an der Definitionslücke nicht stetig ergänzen.