Nullfolgen und Grenzwertsätze

Question

Mit hilfe der Definition für Grenzwerte soll ich folgende Aufgabe lösen;

Wenn (a_n) eine Nullfolge ist, so ist auch die Folge (b_n) mit

$$ { b }_{ n }=\quad \frac { 1 }{ n } \sum _{ j=1 }^{ n }{ { a }_{ j } }  $$

n∈ℕ

eine Nullfolge.

Hinweis: Schreiben Sie mit der Definition des Grenzwerts auf, was es bedeutet, dass (an) eine Nullfolge ist. Spalten Sie die Summe in der Definition von (bn) entsprechend auf.

Ich hab leider keeeeeeeiiiiiiiineeeeee Ahnung was ich hier machen soll, ich wäre Dankbar für paar hilfreiche Ansätze und sowas.

mfg

Comments

Was stört dich denn am bestehenden Hinweis?

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Ich bin mir im allgemeinen unsicher, was ich machen muss.

Also mein Ansatz war: Zu jedem ε>0 gibt es ein n₀∈ℕ, sodass |a_n|<ε ist, für alle n ≥n₀. (ist das ein Grenzwertsatz, den ich dafür gebrauchen könnte?)

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Das ist kein Grenzwertsatz, aber das n₀ ist genau das, womit Du die Summe aufspalten sollst.

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okay, also ist das sogesehen meine Voraussetzung für den Beweis?
Und wie gehe ich nun weiter vor?

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Wie es im Hinweis steht: Summe aufspalten in zwei Teile. Ein Teil hat die Summanden mit Index<n₀, der zweite den Rest.

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Also so:

$$ { b }_{ n }\le \frac { 1 }{ n } \sum _{ j=1 }^{ n }{ \left| { a }_{ j } \right|  } +\frac { 1 }{ n } \sum _{ j={ n }_{ 0 } }^{ n }{ \left| { a }_{ j } \right|  }  $$

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Die erste Summe geht nur bis n₀-1 und links fehlen die Betragsstriche.

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Also so:

$$ { b }_{ n }\le \frac { 1 }{ n } \sum _{ j=1 }^{ { n }_{ 0 }-1 }{ \left| { a }_{ j } \right|  } +\frac { 1 }{ n } \sum _{ j={ n }_{ 0 } }^{ n }{ \left| { a }_{ j } \right|  }  $$

Und wo fehlen die Betragsstriche?

Und dann habe ich noch folgendes gemacht:

{ b }_{ n }\le \frac { { n }_{ 0 }-1 }{ n } \sum _{ j=1 }^{ { n }_{ 0 }-1 }{ \left| { a }_{ j } \right|  } +\frac { n-{ n }_{ 0 }+1 }{ n } \E

Kann man das so schreiben?

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$${ b }_{ n }\le \frac { { n }_{ 0 }-1 }{ n } \sum _{ j=1 }^{ { n }_{ 0 }-1 }{ \left| { a }_{ j } \right|  } +\frac { n-{ n }_{ 0 }+1 }{ n } ε $$

Das meinte ich

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Links ist linke Seite: \(|b_n|\).

Die zweite Haelfte rechts isr richtig, wobei einfach \(<\epsilon\) viel einfacher ist.

Das mit der ersten Haelfte rechts ist Quark. Ueberlege Dir lieber, dass \(\sum_1^{n_0-1}|a_j|\) nicht von \(n\) abhaengt, \(\frac{1}{n}\sum_1^{n_0-1}|a_j|\) also eine Nullfolge ist.