Wie bestimmt man die orthogonale Projektion?

Question

Hi,ich würde gerne wissen, wie man bei einer Aufgabe vorgeht, die wie folgt heißen könnte:

Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von w auf U=span{v1,v2,v3}.

w, v1, v2,v3 haben jeweils 4 Koordinaten.

Hier würde ich einfach nur gerne einen Lösungsweg haben, den man immer anwenden kann.

Answer 1

Wenn du das Verfahren quasi selbst erfinden darfst:

Hier mal, was eine orthogonale Projektion eines Vektors auf eine Gerade durch den Ursprung, ist:

Gegeben:

Konstruktion:

Illustration des Rechenwegs:

Nun das Ganze in höheren Dimensionen.

1. Schritt: Bestimme (Länge mal egal) p senkrecht auf v1, v2 und v3

Verwende Skalarprodukte v1*p = 0, v2*p=0 und v3*p = 0. Das sind 3 Gleichungen. Wähle die erste Koordinate daher beliebig. Z.B. als 1.

2. Schritt Gleichung aufstellen, die u enthält.

w = u + t * p , wobei u = a* v1 + b*v2 + c*v3

3. Schritt, einsetzen und die reellen Zahlen t, a,b,c bestimmen so, dass

w = a*v1 + b*v2 + c*v3 + t*p.

4. Schritt u ausrechnen.

Anmerkung: Gut möglich, dass das Ganze kürzer geht.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort! Eine Frage hätte ich noch. Könntest du vielleicht die Berechnung von p mit einem Beispiel zeigen? Ich verstehe nicht ganz, wie man dann auf die einzelnen Koordinaten kommt.

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v1 = (1,0,0,1)

v2 = (1,1,0,0)

v3 = (1,0,1,0)

p= (x,y,z,u)

Skalarprodukte:

v1*p = 1*x + 1*u = 0

v2*p= 1*x+1*y= 0

v2 *p = 1*x + 1*z = 0

LGS lösen.

Ich wähle x = 1

==> u = -1, y = -1 und z = -1

==> p = (1, -1, -1, -1)