wende das Cauchy-Produkt von Reihen an.
Es ist \( f(w)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{w^{n}}{n !} \) und \( f(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n !} \).
Nach dem binomischen Lehrsatz ist \( f(w) \cdot f(z)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{w^{n-k}}{(n-k) !} \cdot \frac{z^{k}}{k !}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \cdot \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \cdot w^{n-k} \cdot z^{k}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(w+z)^{n}}{n !}=f(w+z) . \)
Für N ≥ 0 gilt die Abschätzung
\( \left|f(-1)-\sum \limits_{n=0}^{N} \frac{(-1)^{n}}{n !}\right| \leq \frac{2}{(N+1) !} \)
Um f(-1) sicher mit einer Genauigkeit von mindestens 0.001 zu bestimmen, muss demnach N ≥ 6 sein. Für N = 6 erhält man f(-1) ≈ 0.368 und der Fehler ist ca. 0.000176.
