Exponentialfunktion f(x):=x^2 e^{-x}. Suche Definitions- und Wertebereich, die lokalen Extrema und die Wendepunkte

Question

Für die Funktion f(x)=x²e^-x bestimme man den Definitions- und Wertebereich, die lokalen Extrema und die Wendepunkte.

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Kommst du mit den ähnlichen Fragen schon mal ein Stück weiter?

Z.B. https://www.mathelounge.de/22910/kurvendiskussion-der-exponentialfunktion-f-x-x²-1-·e-x

Answer 1

f(x) = x^2·e^{-x}

f'(x) = e^{-x}·(2x - x^2)

f''(x) = e^{-x}·(x^2 - 4·x + 2)

Definitionsbereich ganz R

Wertebereich soweit ich sehe R0+

Extrempunkte f'(x) = 0

2x - x^2 = 0

x = 2 ∨ x = 0

f(0) = 0

f(2) = 4/e^2 = 0.5413

Wendepunkte f''(x) = 0

x^2 - 4·x + 2 = 0

x = 2 + √2 ∨ x = 2 - √2

f(2 + √2) = 0.3835

f(2 - √2) = 0.1910

Skizze:

Answer 2

Hi,

 

Definitionsbereich -> was darf x sein -> alles, also D=ℝ

Wertebereich -> was kann y sein -> W=ℝ⁺₀ (da negative Werte durch das x^2 nicht zustande kommen und e^{-x}>0).

 

Vorarbeit - Ableiten:

f(x)=x^2*e^{-x}

f'(x)=-(x-2)*x*e^{-x}

f''(x)=(x^2-4x+2)e^{-x}

f'''(x)=-(x^2-6x+6)e^{-x}

 

Extremum:

f'(x)=0

f''(x)≠0

 

f'(x)=0=-(x-2)*x*e^{-x} für x₁=0 und x₂=2

Überprüfen mit f''(x)

f''(0)>0 -> Tiefpunkt

f''(2)<0) -> Hochpunkt

 

f(0)=0         -> T(0|0)

f(2)=0,5413 -> H(2|0,5413)

 

Wendepunkte:

f''(x)=0

f'''(x)≠0

 

f''(x)=0=(x^2-4x+2)e^{-x}

pq-Formel:

x₃=2-√2=0,5857 und x₄=2+√2=3,4142

 

Überprüfen mit der dritten Ableitung -> f(x_3,4)≠0

 

Damit in f(x).

W₁(0,5857|0,1909) und W₂(3,4142|0,3835)

 

Grüße