die Anzahl der Möglichkeiten, \( 4 \) brauchbare und \( 0 \) unbrauchbare aus der Schachtel zu ziehen, beträgt \( \binom{9}{4} \binom{3}{0} \). Die Anzahl der Möglichkeiten, \( 3 \) brauchbare und \( 1 \) unbrauchbaren aus der Schachtel zu ziehen beträgt \( \binom{9}{3} \binom{3}{1} \).
Die Gesamtzahl aller Möglichkeiten ergibt sich aus der Summe dieser beiden Ausdrücke:
\( S = \binom{9}{4} \binom{3}{0} + \binom{9}{3} \binom{3}{1} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}\frac{1}{1} + \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3}\frac{3}{1} = 126 + 252 = 378 \).
Wie kann man sich den Ausdruck \( \binom{9}{4} \binom{3}{0} \) erklären? Für die Möglichkeiten, \( 4 \) brauchbare aus insgesamt \( 9 \) brauchbaren zu ziehen, ist es so, dass es \( \binom{9}{4} \) sind. Für jede einzelne dieser Möglichkeiten gibt es \( \binom{3}{0} \) Möglichkeiten, \( 0 \) unbrauchbare aus insgesamt \( 3 \) zu ziehen. Daher ist die Gesamtzahl, \( 0 \) unbrauchbare aus \( 12 \) Bällen zu ziehen, in denen \( 9 \) brauchbar und \( 3 \) unbrauchbar sind, gleich dem Produkt aus \( \binom{9}{4} \) und \( \binom{3}{0} \), sprich \( \binom{9}{4} \binom{3}{0} = 126 \).
Dasselbe Argument gilt für den anderen Summanden von \( S \).
Mister
PS: Einen Online-Rechner für den Binomialkoeffizienten findet man zum Beispiel unter http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/binkoeff1.htm .
