Aditionstheorem der Exponentialfunktion - Wie funktioniert das?

Question

Ich kann leider die Rechenschritte des vorhandenen Beweises nicht nachvollziehen, kann mir jemand diese Schritt für Schritt erklären?

Was ist der Korollar zum Mittelwertsatz?

Answer 1

Der Beweis fußt auf folgender Idee:

\( E(x+y)=E(x)E(y) \) ist äquivalent zu \( \frac{E(x+y)}{E(x)E(y)} = 1\). Daher betrachtet man diese Hilfsfunktion \(h\) und möchte zeigen, dass \(h(x)=1\). Dazu zeigt man zunächst, dass die Ableitung 0 ist, denn daraus folgt schon mal, dass \(h(x)\) konstant ist.

Die Berechnung der Ableitung ist straightforward - einfach rechnen und \(E'(x)=E(x)\) benutzen. Dann kriegt man raus, dass die Ableitung 0 ist. Es gibt jedoch ein Korollar, welches besagt, dass Funktionen, deren Ableitung 0 ist, konstant sind. Das folgt unmittelbar aus dem Mittelwertsatz.
Damit kommt man dann auf \(h(x)=const\).

Daher gilt insbesondere \(h(x)=h(0)=1\) und genau das war zu zeigen.

Answer 2

ich versuche mich einmal an einer Erklärung.

Zur Bildung von h'(x)= ... = ... = 0

h'(x) wurde nach dem Quotientenkriterium gebildet.

Da E(y) zwar für ein beliebiges y gilt, aber grundsätzlich konstant ist, wird es für die Ableitung von h(x) nur als Konstante angesehen.

Da gilt E(x)=E'(x) wird für jedes E'(x) wieder E(x) eingesetzt.

Das führt dazu, dass der Zähler gleich 0 ist und somit ist der ganze Bruch gleich 0.

Zweiter Teil

da h'(x)=0 ist, muss h(x) konstant sein. Da h(x) konstant ist, gilt auch h(x)=h(0).

Das wird hier ausgenutzt, damit man in E(x+y) und E(x) x=0 einsetzen kann. Das führt in der dargestellten Gleichung dazu, dass gilt

$$ \frac{E(x+y)}{E(x) \cdot E(y)} = 1 \qquad \vert \cdot ( E(x) \cdot E(y))$$

$$ E(x+y) = E(x) \cdot E(y) \qquad q.e.d. $$

Gruß