Stetigkeit einer Funktion in Abhängikeit

Question

ich habe eine Frage und zwar zum Thema Stetigkeit. Ich soll ein a∈ℝ wählen, damit f stetig wird.

$$f\left( x \right)\left\{ ax+2,\quad \quad x\le 42\\ { x }^{ 2525 },\quad \quad \quad x>42 \right\} $$

Ich denke mein Größtes Problem ist, dass ich mit der Stetigkeit noch nicht so ganz im Reinen bin.

Hat vielleicht einer eine Tipp wie ich es angehen kann.

ps bitte nur nen Tipp  :)

Comments

x^{2525} dürfte sicherlich nicht stimmen.
Das wäre ein bißchen viel.
mfg Georg

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Wofür wäre das viel?

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Wahrscheinlich kannte der Aufgabensteller das hier:

https://www.youtube.com/watch?v=U7VqsONNvIs

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War auf jeden Fall x^2525 keine Ahnung warum vielleicht zu verwirren ..

Answer 1

Stetigkeit: Grenzwert ist gleich Funktionswert.

Bei x < 42 ist f stetig, weil ganzrationale Funktion

Bei x > 42 ist f stetig, weil Exponentialfunktion

Bei x = 42 kann f stetig sein. Dazu muss aber der Grenzwert lim_x→42f(x) existieren. Der Grenzwert existiert nur dann, wenn linksseitiger Grenzwert (x nähert sich von links der 42) und rechtsseitiger Grenzwert gleich sind. Dass ist genau dann der Fall, wenn ax+2 = x²⁵²⁵ für x=42 ist.

Comments

Würde das bedeuten, dass ich quasi nach a umstelle sprich $$a=\frac { { x }^{ 2525 }-2 }{ x } $$ und dann prüfe ob der linke und rechte Grenzwert gleich sind ? Aber wenn ich das so mache könnte ich doch jede Funktion stetig machen oder nicht ?

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> Würde das bedeuten, dass ich quasi nach a umstelle ...

Ja. Und dann 42 für x einsetzen.

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Aber wenn ich das so mache könnte ich doch jede Funktion stetig machen oder nicht ?

Ganz so einfach ist es nicht. Wenn du z.B.

bei     f(x) = 1/x   für x > 0

= ax + 2  für x ≤0  

etwas entsprechendes machen würdest, ginge das nicht,

weil für x gegen 0 das obere den Grenzwert unendlich hat und

so mit dem unteren Teil nicht zusammenpasst.

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ja gut dass stimmt natürlich aber dann war die Aufgabe ja prinzipiell ziemlich einfach ...

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Seh ich auch so.