Warum ist es nicht möglich, die momentane Änderungsrate der Staulänge an diesem Tag durch die Funktion g zu modellieren?

Question

Ich habe eine Abituraufgabe (oben) und auch die Lösung (unten), die ich aber nicht nachvollziehen kann. Ich hoffe, jemand kann mir die Aufgaben 1 und 2 detailliert erklären. Dankeschön.

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Kann man die momentane Änderungsrate nicht nur für einen Punkt ausrechnen? Wieso also für den ganzen Tag? Ich bin verwirrt..

Answer 1

Wenn du die Änderungsrate der Staulänge modellierst, bedeuten ja die Funktionswerte

um wieviel   km/h sich die Staulänge ändert. Wenn du also etwa  g(1) = 2,5 hast, würde das bedeuten,

dass - wenn es immer so bliebe wie um 7h   ( 1h nach 6h) - dann würde der Stau stündlich um 2,5 km länger.

Wenn also überhaupt die Funktion positive Werte hat, würde das bedeuten: Der Stau wird länger.

Da aber in der Beschreibung steht, dass er sich irgendwann auflöst, müssen auch irgendwann negative

Funktionswerte auftreten; denn die bedeuten ja: der Stau wird kürzer.

Und wenn man es genauer haben will, dann gibt ja das Integral ( etwa von 1 bis 2) an, um wieviel der

Stau zwischen 7h und 8h zugenommen hat.  Damit er irgendwann auffgelöst ist, müssen also die

Flächenstücke zwischen Graph und x-Achse (Dei berechnet man ja mit dem Integral.) oberhalb und

unterhalb der x-Achse gleichgroß sein, so viel es zunächst zugenommen hat, muss es auch

irgendwann wieder abnehmen.

Comments

Habe es jetzt auch verstanden! :)

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Als Beispiel habe ich mal angenommen g(t) würde die Staulänge selbst repräsentieren - möglich da um 6Uhr (t=0) und um 10Uhr (t=4) g(t) jeweils 0 ist.

Dazu habe ich einmal g(t)=f₁(x) und g'(t)=f₂(x) geplottet. Hier sieht man wie die Staulängenänderung z.B. aussehen könnte.

~plot~25/3* x-8.75 x^2+3 x^3-x^4/3;-4/3* (-6.25+13.125 x-6.75 x^2+x^3);[[-2|7|-3|3]]~plot~

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naja, so ganz kann das auch nicht stimmen, wenn er aufgelöst ist

(also Fläche unten = Fläche oben) das wäre wohl bei deinem Beispiel so gegen

9:30h der Fall, danach muss es aber auf 0 gehen, wenn wo kein Stau ist , kann er auch nicht kürzer

werden, also Längenänderung negativ, geht dann nimmer.

Ach so, ich hatte nur einen Graphen gesehen.

Mit beiden macht es wohl Sinn.

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Danke, dass Du es Dir angesehen hast, hatte auch schon Fehler in Beispielen...

Selbstverständlich darf die Funktion der Staulänge im Definitionsbereich nicht negativ werden.

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Kann man die momentane Änderungsrate nicht nur für einen Punkt auf einmal bestimmen? Wie funktioniert das mit dem ganzen Tag? Bin verwirrt..

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Ich verstehe die Frage nicht. Hier wird nie die momentane Änderungsrate für den ganzen Tag angegeben.

Wichtig ist jedoch, dass zwischen Staubeginn und Stauauflösung, die momentane Änderungsrate sowohl positiv als auch negativ gewesen sein muss, also über den gesamten Zeitraum von Beginn bis Ende eines oder mehrerer Staus. Die Staulänge selbst, darf jedoch nur positive Werte haben.

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Das verstehe ich. Mein Problem ist, dass ich bis jetzt die momentane Änderungsrate immer nur für einen Punkt berechnen musste. In der Frage steht aber "wieso kann die Funktion nicht die momentane Änderungsrate der ganzen Staulänge für den Tag modellieren?" Und da frage ich mich, wie das überhaupt funktionieren soll :/

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Es gibt zu jedem Zeitpunkt eine momentane Änderungsrate.

Und die Funktion, die jedem Zeitpunkt seine momentane Änderungsrate

ist die, die hier betrachtet wird.

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Es ist genau wie mathef sagt.

Es gibt eine Funktion s(t) die für jeden Zeitpunkt t, die Staulänge darstellt. Genauso gibt es eine Funktion s'(t) die für jeden Zeitpunkt die momentane Änderung der Staulänge darstellt.

Die Frage ist, warum tut dies die hier dargestellte Funktion nicht? Genau deswegen nicht, weil es irgendwann zwischen 6 und 10 Uhr auch Momente mit negativer Änderung geben muss, die bei dieser Funktion jedoch nicht gegeben sind.

Also kann die Funktion die Änderung nicht für den ganzen Tag modellieren, weil es über den Tag auch negative Werte geben müsste.

Für jeden Moment des Tages die momentane Änderung wiedergeben ist nicht gleich eine Änderungsrate o.ä.  für den ganzen Tag darstellen.