Also, du möchtest ja folgende Gleichung nach x auflösen:
0 = 3x² - 8x + 3
Da hast du völlig richtig erkannt, dass einem es hier nicht weiterhilft, x auszuklammern. Daher teilt man zunächst mal durch 3, damit das x² alleine steht:
0 = x² - 8/3 x + 1
Und nun wendet man, ich sag mal, einen kleinen "Trick" an. Ich mach es mal ganz langsam Schritt für Schritt. ^^
Du kennst sicher die binomischen Formeln, vor allem die ersten beiden, also:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Nun stellt man sich diese Umformung mal andersherum vor. Man möchte aus einem Term wie oben nun ein Binom formen, also (a + b)² oder (a - b)². In unserem Fall eignet sich da wohl eher (a - b)², da die Zahl vor dem x (also -8/3) negativ ist.
So, also soll praktisch die Umformung a² - 2ab + b² = (a - b)² auf unseren Term x² - 8/3 x + 1 angewandt werden.
Dabei stellt das x auf jeden Fall mal das a aus der binomischen Formel dar. Dementsprechend müssen die 8/3 für das 2b stehen. Soweit klar?
Und ganz hinten soll nun nicht irgendeine 1 stehen, sondern b². Dieses b² wäre dann in diesem Fall 16/9, denn wenn 8/3 unser 2b ist, dann ist 4/3 das einfache b und dementsprechend das Quadrat davon, also 16/9, dann b².
Wie kriegen wir nun hin, dass hinten eben 16/9 steht und nicht irgendeine 1? Durch die sogenannte quadratische Ergänzung. Wir addieren einfach 16/9 und subtrahieren es dahinter wieder:
0 = x² - 8/3 x + 16/9 - 16/9 + 1
Die 1 bleibt hinten einfach so stehen und lässt sich ja nun auch mit den - 16/9 verrechnen und auf die andere Seite schieben:
0 = x² - 8/3 x + 16/9 - 7/9 | + 7/9
7/9 = x² - 8/3 x + 16/9
Und nun haben wir ja genau unser a² - 2ab + b² dort auf der rechten Seite stehen und können die binomische Formel anwenden. :)
7/9 = (x - 4/3)²
und mal umgestellt (sieht schöner aus ^^): (x - 4/3)² = 7/9
Danach können wir die Wurzel ziehen und die Gleichung ganz normal nach x auflösen. Bei der Wurzel natürlich beachten, dass sowohl die positive als auch die negative Lösung in Frage kommt.
x - 4/3 = √(7)/3 ∨ x - 4/3 = -√(7)/3 | + 4/3
x = 4/3 + √(7)/3 ∨ x = 4/3 - √(7)/3
x = (4 + √(7))/3 ∨ x = (4 - √(7))/3
x ≈ 2,215 ∨ x ≈ 0,451
So, und für das Ganze (weil es ja doch am Anfang recht kompliziert erscheint) gibt es zum Glück auch noch eine kleine Formel, die sogenannte pq-Formel, die man einfach auswendig lernen sollte. Wenn man die Gleichung in folgender Form da stehen hat:
0 = x² + px + q
Dann lassen sich die Lösungen sofort mit dieser Formel berechnen:
x = - p/2 ± √((p/2)² - q)
Kannst du ja auch gerne mal austesten. Wenn man nun für p die -8/3 und für q die 1 einfügt, erhält man dieselben Ergebnisse wie durch die quadratische Ergänzung. Die pq-Formel entsteht ja praktisch auch so, wie wenn man all die einzelnen Schritte von oben direkt in einem durchführt und dabei eben die Variablen p und q beibehält. :)
