Konvergenz überprüfen

Question

Ich soll überprüfen ob die Folge $${ a }_{ n }={ \left( 1+\frac { 1 }{ \sqrt { n }  }  \right)  }^{ n }-{ n }^{ 2 }$$ konvergiert und, wenn ja, den Grenzwert berechnen.

Meine Idee ist, dass der Ausdruck "links vom Minus" schneller gegen $$\infty $$ geht als der Ausdruck "rechts vom Minus", weshalb die Folge gegen +unendlich gehen, also nicht konvergieren, sollte. Ich weiß aber nicht, wie ich beweise, dass der linke Ausdruck schneller gegen +unendlich geht.

Ist meine Idee richtig und wenn ja, wie mache ich das am besten? Kann mir da bitte jemand helfen?

Answer 1

Binomialformel: \((1+1/\sqrt{n})^n=\cdots+{n\choose6}n^{-3}+\cdots=\Omega(n^3)\).

Comments

Danke für die Antwort, was genau bedeutet denn das Omega?

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Vergleiche die Landau-Symbole.

$$f\in\Omega(g)\quad:\Longleftrightarrow\quad g\in O(f)$$

In Worten: \(f(n)\ge Cg(n)\) für fast alle \(n\) mit einer geeigneten Konstanten \(C>0\). Oder noch platter: \(f\) waechst mindestens so schnell wie \(g\).