Aloha :)
Folgendes ist mir aufgefallen:
1) Du schreibst \(x\), obwohl es \((a_n)\) heißt.
2) Im Nenner wurde falsch ausgeklammert \(\sqrt{x^3+7x+5}=\sqrt{x^3}\cdot\sqrt{1+\frac{7}{x^2}+\frac{5}{x^3}}\)
3) Im Nenner wurde beim Kürzen mit \(x^3\) der zweite Summand \(+x\) vergessen.
Wegen \(n\ge1\) wäre mein Vorschlag:$$a_n=\sqrt{n^3+7n+5}-n>\sqrt{n^3}-n=n\sqrt{n}-n=n(\sqrt n-1)\ge\sqrt n-1\to\infty$$