Überprüfen auf Konvergenz

Question

Aufgabe:

a_n=\( \sqrt{x^3+7x+5} \) -x

Überprüfen auf Konvergenz/Divergenz.

Durch die dritte binomische Formel erhalte ich:

a_n= \( \frac{x^3+7x+5-x^2}{\sqrt{x^3+7x+5}+x} \) = \( \frac{x^3(1+7/x^2+5/x^3-1/x}{x^3\sqrt{1+7/x^2+5/x^3}+x} \) = \( \frac{1}{\sqrt{1}+x} \) = 1+\( \frac{1}{n} \) =1, womit diese konvergiert?

Answer 1

Aloha :)

Folgendes ist mir aufgefallen:

1) Du schreibst \(x\), obwohl es \((a_n)\) heißt.

2) Im Nenner wurde falsch ausgeklammert \(\sqrt{x^3+7x+5}=\sqrt{x^3}\cdot\sqrt{1+\frac{7}{x^2}+\frac{5}{x^3}}\)

3) Im Nenner wurde beim Kürzen mit \(x^3\) der zweite Summand \(+x\) vergessen.

Wegen \(n\ge1\) wäre mein Vorschlag:$$a_n=\sqrt{n^3+7n+5}-n>\sqrt{n^3}-n=n\sqrt{n}-n=n(\sqrt n-1)\ge\sqrt n-1\to\infty$$

Comments

Danke dir für den Hinweis, habe meine Abschätzung korrigiert.