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Genau dann hat jeder endomorphismus f eines k -vektorraumes V ungleich 0 der Dimension n einen eigenwert £ aus K, wenn jede algebraische Gleichung vom positiven grad <= n mit Koeffizienten aus K eine Lösung K hat.


Wie könnte man dies Konrekt beweisen ?? Jemand eine Ahnung ??

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Womoeglich haengt das damit zusammen, dass Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind?

Ja könnte sein aber ich weiß trotzdem nicht wie ich das beweisen könnte

Algebraische Gleichungen sind von der Form Poynom = 0.

Helfen wuerde es auch, der Aufgabe einen sinnvollen Betreff zu geben. "Endomorphismus hat eine Lösung" ist voelliger Quatsch. Und im Aufgabentext muss es am Ende heissen "... eine Lösung in K hat."

Waehle eine Basis B zu V und schreibe f als Matrix A. Betrachte das charakteristische Polynom P von A. Bemerke, dass P nicht von B anhaengt, nur von f. Gerade die Nullstellen von P sind die Eigenwerte von f.
Damit beweist ich doch nur die nullstellen ich Soll doch Zeigen dass es genau eine Lösung hat??

\(f\) sei der Endomorphismus des \(\mathbb{R}\)-Vektorraums \(\mathbb{R}^2\), der eine Drehung um 90\(^\circ\) um den Ursprung beschreibt: Warum hat \(f\) keine Eigenwerte?

Die Aufgabe funktioniert so nicht oder ist falsch abgeschrieben. Gegenbeispiel mit \(K=\mathbb{R}\) und \(V=\mathbb{R}^3\): Der Endomorphismus $$f: v\mapsto\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}v$$ hat einen reellen Eigenwert (\(\lambda=1\)), obwohl in \(\mathbb{R}\) nicht alle algebraischen Gleichungen vom Grade \(\le3\) eine Lösung haben, z.B. \(X^2+1=0\).

Das bringt mich nicht weiter

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