Genau dann hat jeder endomorphismus f eines k -vektorraumes V ungleich 0 der Dimension n einen eigenwert £ aus K, wenn jede algebraische Gleichung vom positiven grad <= n mit Koeffizienten aus K eine Lösung K hat.
Wie könnte man dies Konrekt beweisen ?? Jemand eine Ahnung ??
Womoeglich haengt das damit zusammen, dass Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind?
Algebraische Gleichungen sind von der Form Poynom = 0.
Helfen wuerde es auch, der Aufgabe einen sinnvollen Betreff zu geben. "Endomorphismus hat eine Lösung" ist voelliger Quatsch. Und im Aufgabentext muss es am Ende heissen "... eine Lösung in K hat."
\(f\) sei der Endomorphismus des \(\mathbb{R}\)-Vektorraums \(\mathbb{R}^2\), der eine Drehung um 90\(^\circ\) um den Ursprung beschreibt: Warum hat \(f\) keine Eigenwerte?
Die Aufgabe funktioniert so nicht oder ist falsch abgeschrieben. Gegenbeispiel mit \(K=\mathbb{R}\) und \(V=\mathbb{R}^3\): Der Endomorphismus $$f: v\mapsto\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}v$$ hat einen reellen Eigenwert (\(\lambda=1\)), obwohl in \(\mathbb{R}\) nicht alle algebraischen Gleichungen vom Grade \(\le3\) eine Lösung haben, z.B. \(X^2+1=0\).
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