Endomorphismus hat eine Lösung

Question

Genau dann hat jeder endomorphismus f eines k -vektorraumes V ungleich 0 der Dimension n einen eigenwert £ aus K, wenn jede algebraische Gleichung vom positiven grad <= n mit Koeffizienten aus K eine Lösung K hat.

Wie könnte man dies Konrekt beweisen ?? Jemand eine Ahnung ??

Comments

Womoeglich haengt das damit zusammen, dass Eigenwerte gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind?

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Ja könnte sein aber ich weiß trotzdem nicht wie ich das beweisen könnte

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Algebraische Gleichungen sind von der Form Poynom = 0.

Helfen wuerde es auch, der Aufgabe einen sinnvollen Betreff zu geben. "Endomorphismus hat eine Lösung" ist voelliger Quatsch. Und im Aufgabentext muss es am Ende heissen "... eine Lösung in K hat."

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Waehle eine Basis B zu V und schreibe f als Matrix A. Betrachte das charakteristische Polynom P von A. Bemerke, dass P nicht von B anhaengt, nur von f. Gerade die Nullstellen von P sind die Eigenwerte von f.

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Damit beweist ich doch nur die nullstellen ich Soll doch Zeigen dass es genau eine Lösung hat??

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\(f\) sei der Endomorphismus des \(\mathbb{R}\)-Vektorraums \(\mathbb{R}^2\), der eine Drehung um 90\(^\circ\) um den Ursprung beschreibt: Warum hat \(f\) keine Eigenwerte?

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Die Aufgabe funktioniert so nicht oder ist falsch abgeschrieben. Gegenbeispiel mit \(K=\mathbb{R}\) und \(V=\mathbb{R}^3\): Der Endomorphismus $$f: v\mapsto\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}v$$ hat einen reellen Eigenwert (\(\lambda=1\)), obwohl in \(\mathbb{R}\) nicht alle algebraischen Gleichungen vom Grade \(\le3\) eine Lösung haben, z.B. \(X^2+1=0\).

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Das bringt mich nicht weiter