0 Daumen
888 Aufrufe

Ist diese Aufgabe überhaupt lösbar?

Welche Ganzrationale Funktion 3ten Grades schneidet die x-Achse bei x=1, hat bei x=-1 ein Maximum, und in x=-1/3 einen Wendepunkt.

Damit habe ich 4 Unbekannte, kann aber nur 3 Gleichungen aufstellen. Oder täusche ich mich?


0=a+b+c+d

0=-3a-2b+c

0=-2a+2b

Avatar von

4 Antworten

+1 Daumen
Welche Ganzrationale Funktion \(3\). Grades schneidet die x-Achse bei \(x=1\), hat bei \(x=-1\) ein Maximum, und in \(x=-\frac{1}{3}\) einen Wendepunkt.

bei \(x=-1\) ein Maximum:

\(f(x)=a[(x+1)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=a[(2x+2)(x-N)+(x+1)^2]\)

\(f''(x)=a[2(x-N)+(2x+2)+(2x+2)]\)

bei \(x=-\frac{1}{3}\)einen Wendepunkt:

\(f''(-\frac{1}{3})=a[2\cdot(-\frac{1}{3}-N)+4\cdot(-\frac{1}{3})+4]\)

\(f''(-\frac{1}{3})=a[-2N+2]=0\)

\(N=1\):

\(f(x)=a(x+1)^2(x-1)\)

bei \(x=-1\) ein Maximum:

\(f''(-1)=a[-4]\) Dieser Term muss \(<0\) sein, somit ist \(a>0\) 

Ist diese Aufgabe überhaupt lösbar?

Sie ist lösbar: Es kommt eine Schar von kubischen Parabeln mit Parameter a heraus.

\(f_\red{a}(x)=\red{a}(x+1)^2(x-1)\)

Unbenannt.JPG

Avatar von 40 k
0 Daumen

du findest unendlich viele Funktionen, die die Bedingungen erfüllen, setze z.B. d=p, wobei p ein frei wählbarer Parameter ist, löse dann das Gleichungssystem

für p=1 bekommst du a=-1, b=-1, c=1, d=1

für p=2 bekommst du a=-2, b=-2, c=2, d=2

Avatar von 2,3 k
0 Daumen

Hast du nicht eventuell doch noch eine Unbekannte? Sonst

f(1) = 0

f'(-1) = 0

f''(-1/3) = 0

Löse mit einem Freiheitsgrad und erhalte d = -a ∧ b = a ∧ c = -a

f(x) = a·x^3 + a·x^2 - a·x - a

Skizze

Bild Mathematik

Avatar von 488 k 🚀

ok danke :)


was ist wenn man die Angabe hat: Durch den Wendepunkt verläuft die Normale mit einem Winkel von 135°, wie verbaue ich das in mein GLS?

Durch den Wendepunkt verläuft die Normale mit einem Winkel von 135°

Ich würde zunächst sagen dann hat die Normale die Steigung -1. Das funktioniert aber nicht weil dann die Steigung des Graphens 1 sein müsste. 

Daher würde ich Nachfrage mit welcher Achse die Normale einen Winkel von 135 Grad bilden soll.

an der Stelle x=-1/3 beträgt die 1. Ableitung gleich 1, der Winkel der Normal von 135° entspricht einem Anstieg von -1, somit bekommst du a=b=-3/4 und c=d=3/4

Und wie schaut der Graph dann aus? Ist dann bei x = -1  immer noch ein Hochpunkt ?

0 Daumen

wenn bei -1/3 ein Wendepunkt und bei -1 ein Max ist, dann ist bei +1/3 ein Min, wegen der

Symmetrie zum Wendepunkt,

Avatar von 289 k 🚀
Hi, diese Information ist aber nicht neu, sondern bereits in den anderen enthalten, so dass dadurch keine Eindeutigkeit erzielt wird.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community