Ist diese Aufgabe lösbar? (Funktionsgleichung anhand Informationen aufstellen)

Question

Ist diese Aufgabe überhaupt lösbar?

Welche Ganzrationale Funktion 3ten Grades schneidet die x-Achse bei x=1, hat bei x=-1 ein Maximum, und in x=-1/3 einen Wendepunkt.

Damit habe ich 4 Unbekannte, kann aber nur 3 Gleichungen aufstellen. Oder täusche ich mich?

0=a+b+c+d

0=-3a-2b+c

0=-2a+2b

Answer 1

Welche Ganzrationale Funktion $3$. Grades schneidet die x-Achse bei $x=1$, hat bei $x=-1$ ein Maximum, und in $x=-\frac{1}{3}$ einen Wendepunkt.

bei $x=-1$ ein Maximum:

$f(x)=a[(x+1)^2(x-N)]$

$f'(x)=a[(2x+2)(x-N)+(x+1)^2]$

$f''(x)=a[2(x-N)+(2x+2)+(2x+2)]$

bei $x=-\frac{1}{3}$einen Wendepunkt:

$f''(-\frac{1}{3})=a[2\cdot(-\frac{1}{3}-N)+4\cdot(-\frac{1}{3})+4]$

$f''(-\frac{1}{3})=a[-2N+2]=0$

$N=1$:

$f(x)=a(x+1)^2(x-1)$

bei $x=-1$ ein Maximum:

$f''(-1)=a[-4]$ Dieser Term muss $<0$ sein, somit ist $a>0$ 

Ist diese Aufgabe überhaupt lösbar?

Sie ist lösbar: Es kommt eine Schar von kubischen Parabeln mit Parameter a heraus.

$f_\red{a}(x)=\red{a}(x+1)^2(x-1)$

Answer 2

du findest unendlich viele Funktionen, die die Bedingungen erfüllen, setze z.B. d=p, wobei p ein frei wählbarer Parameter ist, löse dann das Gleichungssystem

für p=1 bekommst du a=-1, b=-1, c=1, d=1

für p=2 bekommst du a=-2, b=-2, c=2, d=2

Answer 3

Hast du nicht eventuell doch noch eine Unbekannte? Sonst

f(1) = 0

f'(-1) = 0

f''(-1/3) = 0

Löse mit einem Freiheitsgrad und erhalte d = -a ∧ b = a ∧ c = -a

f(x) = a·x³ + a·x² - a·x - a

Skizze

Comments

ok danke :)

was ist wenn man die Angabe hat: Durch den Wendepunkt verläuft die Normale mit einem Winkel von 135°, wie verbaue ich das in mein GLS?

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Durch den Wendepunkt verläuft die Normale mit einem Winkel von 135°

Ich würde zunächst sagen dann hat die Normale die Steigung -1. Das funktioniert aber nicht weil dann die Steigung des Graphens 1 sein müsste. 

Daher würde ich Nachfrage mit welcher Achse die Normale einen Winkel von 135 Grad bilden soll.

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an der Stelle x=-1/3 beträgt die 1. Ableitung gleich 1, der Winkel der Normal von 135° entspricht einem Anstieg von -1, somit bekommst du a=b=-3/4 und c=d=3/4

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Und wie schaut der Graph dann aus? Ist dann bei x = -1  immer noch ein Hochpunkt ?

Answer 4

wenn bei -1/3 ein Wendepunkt und bei -1 ein Max ist, dann ist bei +1/3 ein Min, wegen der

Symmetrie zum Wendepunkt,

Comments

Hi, diese Information ist aber nicht neu, sondern bereits in den anderen enthalten, so dass dadurch keine Eindeutigkeit erzielt wird.