Regression. Linearisierung

Question

undzwar geht es um die Regressionsrechnung. Ich habe eine Funktion gegeben und muss diese zunächst Linearisieren. Ich vermute, dass ich den richtigen Ansatz dazu rausgesucht habe. Da ich diese Form der Regression das erste mal berechnen muss, habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich beginne bzw. die Funktion linearisiere. Darum habe ich noch keinen Rechnenweg.

Ich würde mich sehr freuen, wenn ich die Aufgabe mit eurer Hilfe bzw. Tipps lösen kann. Die Aufgabe ist als Bild im Anhang. Vielen lieben Dank schon mal 

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Hinweis : n deinem handschriftlichen muß der erste Wert für
tk = 0.25 heißen.

Eine Regressionsgerade in der Form

J(k) = m * t(k) + b

zu berechnen schaffe ich, falls dir das weiterhilft.

Wie groß ist K in diesem Fall ?

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danke für den Hinweis,  im Skript steht, wenn man die x Werte auch transformiert mit t = 1/x, so erhält der Ansatz die Form z(t)= β+ α*t und es kann die Formel für die lineare Regression verwendet werden.  Aber wo stehen denn die x-Werte ?

Ein K-Wert ist nicht gegeben

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Das Ganze mit z = 1/J , t = 1/x, auf einmal noch ein β.
Das ist mir alles zu wirr.

Stell einmal den ganzen Zusammenhang als Foto ein.
Vielleicht wird es dann klarer.

mfg Georg

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Ja das stimmt ist etwas verwirrend, weil ich etwas aus dem Zusammenhang gerissen habe, tut mir leid dafür, also auf dem ersten Bild ist die Aufgabe zu sehen.

im 2. Bild geht es um den Abschnitt (iv), denn da ist auch die Funktion aus der Aufgabe erklärt.

im 3 Bild geht es auch im den Abschnitt (iv), der soweit ich es verstanden habe, die Linearisierung erklärt, die ich aber nicht verstanden habe. und dazu gehört noch den Pink markierte Teil im Abschnitt ,,Bemerkungen''

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Ich kann dir leider nicht helfen.
Den ganzen Stoff kenne ich nicht.

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kein Problem, danke trotzdem und schönen Abend noch

Answer 1

habe jetzt die Kommentare mal übersprungen. So wie ich das sehe kannst du wie folgt vorgehen:

Transformiere deine Meßdaten:

$$x_k = \frac{1}{t_k} $$

$$y_k = \frac{1}{J_k} $$

Führe eine lineare Regression durch, so dass du auf die Regressiongerade

$$ y(x) = \alpha + \beta x $$

kommst. Nach deinem Ansatz kommt du auf die Parameter der gesuchten Funktion \(J(t)\) dann durch:

$$ v = \frac{1}{\alpha} $$

$$ K = \frac{\beta}{\alpha} $$

Gruß

Comments

danke für die Antwort. Ich habe ihre Antwort leider zu spät gelesen und erstmal versucht selber zu rechnen. Was ich nicht verstehe ist, wieso man 2. Meßdaten, nämlich 1/t und 1/J transformieren soll. Ich habe bloß 1/J transformiert, ist das falsch ?

und ich habe noch eine Frage, die Funktion hat ja die Form

J(t)= v*t / K+t

1. Woher erkenne ich, welche Meßdaten (Parameter ?) man transformieren soll ?

2. Diese Funktion linearisiert ja man mit dem Ansatz (Ansatz steht so im Skript )

:  z(x) = 1/v (β)  + K/v (α) * 1/x    ,  wie kommen Sie  auf v = 1/α  , K= β/α   ?

3. Ich muss das ganze noch Rücktransformieren, wie gehe ich da vor ?

Auf dem Bild ist meine Rechnung, aber nicht nach Ihrer Antwort, da ich sie zu spät gelesen habe 

ps: tut mir leid, dass es so unübersichtlich geworden ist, weiß nicht wie man den Bruchstrich darstellen kann.

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 Ich habe bloß 1/J transformiert, ist das falsch ? 

Ja du musst beide Daten transformieren, somit ist deine anschließende Rechnung leider nicht zielführend. (Habe sie nur überflogen, dir scheint aber klar zu sein wie du nach der Transformation weiter vorgehen musst, also nochmal das ganze mit der von dir nicht bearbeiteten Transformation).

1. Woher erkenne ich, welche Meßdaten (Parameter ?) man transformieren soll ?

Warum das ganze? Schau dir genau an wie die "linearisierte" Gleichung aussieht (sie hat die Form einer Geraden \(y = \alpha+\beta x\)). Durch Vergleich siehst du ja, dass

$$ y = \frac{1}{J} $$

$$ x = \frac{1}{t} $$

Ich habe sie zwar \(y\) und \(x\) genannt, bitte nicht mit dem \(x\) aus deinem Ansatz in Punkt 2 (siehe unten) verwechseln. Bezogen auf die Aufgabe würde bei dir ja auch nicht \(\frac{1}{x}\) stehen sondern \(\frac{1}{t} \).

Vor allem nicht vergessen, dass die Messstellen mit \(t\) gekennzeichnet sind und \(J(t)\) die Messungen zum Zeitpunkt \(t\) sind. Das sind deine Zielgrößen, \(K\) und \(v\) sind somit nur Parameter.

Daher weißt du auch, dass du beide Messdaten (in diesem Ansatz) transformieren musst.

2. Diese Funktion linearisiert ja man mit dem Ansatz (Ansatz steht so im Skript ) 

 :  z(x) = 1/v (β)  + K/v (α) * 1/x    ,  wie kommen Sie  auf v = 1/α  , K= β/α   ?

Vergleiche die Koeffizienten meiner Gleichung mit denen aus deinem Ansatz. Daher kommen diese Beziehungen.

3. Ich muss das ganze noch Rücktransformieren, wie gehe ich da vor ? 

Nicht wirklich, du hast ja aus der Anfangsgleichung die linearisierte Gleichung hergeleitet. Am Ende musst du nur \(K\) und \(v\) in die Funktion  \(J(t)\) aus der Aufgabenstellung einsetzen.

Du kannst ruhig Du sagen :) sind wahrscheinlich sowieso nicht weit auseinander.

Answer 2

Schauen wir einmal ob ich die Regressionsgerade richtig berechnet habe.

~plot~ {4 |2.6 } ; {2 |1.3 } ; {1 |1.1 } ; {0.5 |0.3 } ; 0.61 * x + 0.03 ~plot~

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Hier meine Berechnungen

Nach der Antwort von yakyu gilt

y = α + β * x

α = 0.03
β = 0.61

v = 1 / α = 33.3333
K = β / α = 20.3333

y ( x ) = ( v * x ) / ( K + x )
y ( x ) = ( 33.333 * x ) / ( 20.333 + x )

Ob irgendwo Rechenfehler sind müßte man überprüfen.
Ich hoffe der Rechengang ist nachvollziehbar.