Taylorentwicklung/Extremwerte

Question

a) Berechnen Sie cos (20°) näherungsweise, indem Sie dafür das Taylorpolynom 4. Grades für f(x)=cos(x) am Entwicklungspunkt x0=0 verwenden. Bestimmen Sie die Genauigkeit mit Hilfe der Restgliedabschätzung von Lagrange. Überlegen Sie zuallererst, ob es sinnvoll ist, mit dem Winkel 20° (Gradmaß) zu rechnen.

b) Eine Getränkedose habe die Form eines Zylinders mit oben aufgesetzter Halbkugel und unten einem flachen Boden. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit die Dose bei einer Oberfläche von 200 cm² ein möglichst großes Volumen hat?

Freue mich über jede Hilfe :)

Comments

b mittlerweile gelöst

Answer 1

Das Taylorpolynom der Ordnung 4 lautet

$$ 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}  $$ und das Restglied $$ -\frac{x^5}{120} \sin(\xi) $$

Damit gilt $$  \left| T_4 \cos(x,0) - \cos(x) \right| \le \left| \frac{x^5}{120}  \right| $$ Und für \( x = \frac{\pi}{9} \)  folgt

$$ \left| \frac{x^5}{120}  \right| = 4.319 10^{-5}  $$