Aufgaben zu einer quadratischen Pyramide

Question

Gegeben sind eine quadratische Pyramide mit den Ecken A(-3|-3|0) B(3|-3|0) C(3|3|0) D(-3|3|0) Und der Spitze S(0|0|9) sowie die Ebene E: 3x2+4x3=21.

a)  berechnet die Koordinaten der Schnittpunkte der Pyramiden Kanten mit der Ebene E              b)  zeichne die Pyramide mit der Schnittfläche als Trick Bild in dein Koordinatensystem beschreiben Sie die von der Schnittfläche          C) berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche. D)  berechne den Abstand der Spitze S von der Ebene E                                                  E)bestimme das Volumen der Pyramide und der beiden Teil Körper in die Pyramide durch die Ebene E zerlegt wurde

Comments

Hallo

E) Könnte mir jmd. die Abfolge erklären wie ich das Volumen der beiden Körper errechnen könnte?

C) Wie zeige ich das die Schnittfläche ein Trapez ist?

A) Ich wollte Geradengleichungen von 2 Punkten bilden also zB zwischen A und B. Das dann in die Koordinatenform einsetzen. In der Lösung steht aber zB. A' (-1,-1,6) oder B'(1.-1.6).
Wie errechne ich das ?

Schreibe morgen Klausur und verzweifle einwenig.

Vielen Dank

---

zu Aufgabenteil a)

Du musst die Geradengleichung zwischen A und S aufstellen. Der Schnittpunkt mit der Ebene A' hat die Koordinaten (-1|-1|6)

Answer 1

a)

Die Seitenkanten können jeweils durch Geraden von einem Eckpunkt der Grundflächen zum Punkt S beschrieben werden.

Allgemein gilt hier für einen Punkt P die Gerade g: \( \vec{x} \) = \( \vec{OP} \) + r • \( \vec{PS} \) mit 0 ≤ r ≤ 1

Für Punkt A(-3|-3|0)

\( \vec{AS} \) = \( \begin{pmatrix} 0-(-3)\\0-(-3)\\9-0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\3\\9 \end{pmatrix} \)

somit

a: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} \) + r • \( \begin{pmatrix} 3\\3\\9 \end{pmatrix} \)

Für die anderen Seiten gilt nach gleicher Methode Folgendes:

b: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\-3\\0 \end{pmatrix} \) + r • \( \begin{pmatrix} -3\\3\\9 \end{pmatrix} \)


c: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix} \) + r • \( \begin{pmatrix} -3\\-3\\9 \end{pmatrix} \)


d: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} -3\\3\\0 \end{pmatrix} \) + r • \( \begin{pmatrix} 3\\-3\\9 \end{pmatrix} \)

Jetzt können die Schnittpunkte mit der Ebene E berechnet werden.
Das Vorgehen wird an der Gerade a bespielhaft beschrieben und ist für die anderen Geraden bzw. Seitenkante gleich.

x₁ = -3 + 3 • r
x₂ = -3 + 3 • r
x₃ = 0 + 9 • r

Die Gleichungen können in die Koordinatengleichung der Ebene E: 3x₂ + 4x₃ = 21 eingesetzt werden.

    3 • (-3 + 3r) + 4 • (0 + 9r) = 21
⇔                      -9 + 9r + 36r = 21
⇔                             -9 + 45r = 21       | + 9
⇔                                    45r = 30       | ÷ 45
⇔                                        r = \( \frac{2}{3} \)

Einsetzen in die Geradengleichung der Gerade a ergibt den Punkt A'(-1|-1|6).
Die anderen Schnittpunkte liegen bei B'(1|-1|6), C'(\( \frac{5}{3} \)|\( \frac{5}{3} \)|4) und D'(-\( \frac{5}{3} \)|\( \frac{5}{3} \)|4).

c)

Ein Trapez ist ein (ebenes) Viereck, bei dem sich zwei Seiten parallel gegenüber liegen. Es muss also nachgewiesen werden, dass zwei Seiten der Schnittfläche der Ebene durch die Pyramide parallel zueinander sind. Die Seiten kann man wieder als Geraden darstellen, wobei man die Richtungsvektoren vergleicht. Sind zwei Vektoren, die je zwei Punkte verbinden, kollinear, handelt es sich um ein Trapez.

Damit zwei Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) kollinear sind, muss es ein k gegeben, für das k • \( \vec{u} \) = \( \vec{v} \) gilt.

Testweise kann man die Vektoren \( \vec{A'B'} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{C'D'} \) = \( \begin{pmatrix} -\frac{10}{3}\\0\\0 \end{pmatrix} \) bilden. Da -\( \frac{3}{5} \) • \( \vec{C'D'} \) = \( \vec{A'B'} \), sind die Vektoren \( \vec{A'B'} \) und \( \vec{C'D'} \) kollinear, wodurch das Trapez A'B'C'D' bewiesen ist.


Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man mit A = \( \frac{1}{2} \) • (a + c) • h. Hier sind a und c die Längen der parallelen Seiten und h ist der Abstand dieser Seiten.

Die Geraden a': \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\6 \end{pmatrix} \) + r • \( \begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix} \) und c': \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\\frac{5}{3}\\4 \end{pmatrix} \) + r • \( \begin{pmatrix} -\frac{10}{3}\\0\\0 \end{pmatrix} \) beschreiben die beiden parallelen Seiten. Nun kann der Abstand nach dem Verfahren der Wahl berechnet werden.

h = \( \frac{10}{3} \)
a = |\( \vec{A'B'} \)| = 2
c = |\( \vec{C'D'} \)| = \( \frac{10}{3} \)

A = \( \frac{1}{2} \) • (2 + \( \frac{10}{3} \)) • \( \frac{10}{3} \) = \( \frac{80}{9} \)


d)

Der Abstand kann mit Hilfe einer Lotgeraden berechnet werden. Dazu stellt man die Lotgerade g: \( \vec{x} \) = \( \vec{OS} \) + r • \( \vec{n} \) auf und setzt die Koordinaten der Linearkombination in die Koordinatengleichung der Ebene ein.

x₁ = 0
x₂ = 3r
x₃ = 9 + 4r

  3 • (3r) + 4 • (9 + 4r) = 21
⇔           9r + 36 + 16r = 21
⇔                  36 + 25r = 21 | -36
⇔                          25r = -15 | ÷ 25
⇔                              r = \( \frac{3}{5} \)

Aus dem Einsetzen von r in die Gleichung von g ergibt sich der Lotfußpunkt L(0|-1,8|6,6). Der Betrag des Vektors \( \vec{LS} \) ist mit |\( \vec{LS} \)| = 3 der Abstand von der Ebene E zum Punkt S.


e)

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch V = \( \frac{1}{3} \) • G • h. Da die Grundfläche G quadratisch ist, beträgt ihr Flächeninhalt G = |\( \vec{AB} \) |² = 36. Zudem beträgt die Höhe h = 9, weil die x₃-Koordinate der Spitze S x₃ = 9 ist und die Grundfläche in der x₁x₂-Ebene liegt. Somit beträgt das Gesamtvolumen V_gesamt = \( \frac{1}{3} \) • 36 • 9 = 108 [VE].

Den oberen Teil der Pyramide kann man nach dem Satz von Cavalieri wie eine Pyramide mit trapezförmiger Grundfläche, dessen Spitze verschoben wurde, ausrechnen. Aus Aufgabe c) beträgt der Flächeninhalt der Grundfläche (des Trapezes) G = \( \frac{80}{9} \) und nach Aufgabe d) beträgt der Abstand der Spitze zur Grundfläche h = 3. In der Formel eingesetzt ergibt dies V_oben = \( \frac{1}{3} \) • \( \frac{80}{9} \) • 3 = \( \frac{80}{9} \) [VE]. Übrig bleibt V_unten = V_gesamt - V_oben = 108 - \( \frac{80}{9} \) = \( \frac{892}{9} \) [VE].