Beweisen bzw. Widerlegen Sie....

Question

Komme bei einer kleinen Aufgabe nicht weiter.

Ich denke, ich muss da nichts großartiges dazu schreiben, da jede Teilaufgabe nur einen Punkt gibt (insgesamt gibt es 20P) . Mir fallen aber nie Gegenbeispiele ein. Alles scheint für mich richtig zu sein, leider kann ich es auch nicht beweisen.

Beweisen Sie oder widerlegen Sie (gegebenenfalls durch Angabe eines Gegenbeispiels)

die folgenden Aussagen:

1. Jede konvexe und nach unten beschränkte Funktion f : IR ->IR nimmt ihr

Infimum an.

2. Ist f : (0; 1) ->IR stetig, so gibt es ein c ∈ IR derart, dass f(x) ≤  c für alle x ∈ R

3. Ist f : (0; 1) ->R differenzierbar, f0(x) = 2f(x) für alle x ∈R

und f(0) = 1, so gilt f(100) = e²⁰⁰.

4. Ist f : IR ->IR zweimal stetig differenzierbar und x₀ ∈ R mit f"(x₀) = 0, so

liegt bei x₀ ein Wendepunkt von f vor.

5. Jede beschränkte, differenzierbare Funktion f : R -> R besitzt eine lokale

Extremstelle.

Danke für die Hilfe.

Answer 1

1. Jede konvexe und nach unten beschränkte Funktion f : IR ->IR nimmt ihr

Infimum an.    Gegenbeispiel e^x

2. Ist f : (0; 1) ->IR stetig, so gibt es ein c ∈ IR derart, dass f(x) ≤  c für alle x ∈ R

Gegenbeispiel   1/x

3. Ist f : (0; 1) ->R differenzierbar, f0(x) = 2f(x) für alle x ∈R

und f(0) = 1, so gilt f(100) = e²⁰⁰.       was ist f0(x) ???

4. Ist f : IR ->IR zweimal stetig differenzierbar und x₀ ∈ R mit f"(x₀) = 0, so

liegt bei x₀ ein Wendepunkt von f vor.           gegenbeispiel x^4  bei x=0

5. Jede beschränkte, differenzierbare Funktion f : R -> R besitzt eine lokale

Extremstelle.     gegenbeispiel   arctan

Comments

Du hast mir echt geholfen!

Ist f : (0; 1) ->R differenzierbar, f0(x) = 2f(x) für alle x ∈R

Tut mir leid, soll eigentlich f'(x)=2f(x) heißen.

Schönen Abend noch :)