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kann mir jemand helfen folgendes zu beweisen:

Gegeben sei ein C-Vektorraum  $${ l }^{ 2 }\left( N  \right) =\left\{ { \left( { x }_{ n } \right)  }_{ n\in N  }\in { C }^{ N }:\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { \left| { x }_{ n } \right|  }^{ 2 }\quad <\infty  }  \right\} $$ ausgestattet mit der Norm, die durch das Skalarprodukt $${ \left< .,. \right>  }_{ { l }^{ 2 } }:{ l }^{ 2 }\left( N \right) \times { l }^{ 2 }\left( N \right) \rightarrow C\quad ;\quad \quad \left( { \left( { x }_{ n } \right)  }_{ n\in N }\quad ,{ \left( { y }_{ n } \right)  }_{ n\in N }\quad  \right) \mapsto { \left< { \left( { x }_{ n } \right)  }_{ n\in N }\quad ,{ \left( { y }_{ n } \right)  }_{ n\in N } \right>  }_{ { l }^{ 2 } }=\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \overline { { x }_{ n } }  } { y }_{ n }$$ induziert wird. Sei außerdem $$q\in C$$ mit $$\left| q \right| <1$$ und $${ q }_{ m }=\left( { q }^{ m+n } \right) _{ n\in N }\quad ,\quad m\in N$$.

Zeige, dass $${ q }_{ m }\in { l }^{ 2 }(N)$$ und dass $$\lim _{ m\rightarrow \infty  }{ { q }_{ m }={ \left( 0 \right)  }_{ n\in N } } \quad in\quad { l }^{ 2 }\left( N \right) $$ gilt.

C steht für die Komplexen Zahlen und N für die natürlichen Zahlen.

Das ganze ist mir sehr nichtssagend/abstrakt, würde mich über Lösungsvorschläge sehr freuen :-)

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Das ganze ist mir sehr nichtssagend/abstrakt,...

Dann waere der erste Teil der Aufgabe für Dich, das auf die Reihe zu kriegen.

Die Aufgabe selbst ist naemlich kinderleicht. Mehr als eine geometrische Reihe ausrechnen muss man gar nicht.

Ich habe jetzt  bewiesen, dass q_m Element von l^2(N) ist, indem ich eine geom. Reihe als Majorante benutzt habe. Meintest du das? Und brauche ich eine geom. Reihe im 2. Teil der zu zeigen ist?

\(\ell^2\) besteht einfach aus allen Folgen \(a=(a_0, a_1, a_2, \ldots)\) komplexer Zahlen mit kovergenter Quadratsumme \(|a_0|^2+|a_1|^2+|a_2|^2+\cdots\). Diese Quadratsumme ist gleichzeitig die quadrierte Norm \(\lVert a\rVert^2\).

Fuer \(q_m\in\ell^2\) musst Du zeigen, dass die Quadratsumme endlich ist, und für \(\lim_{m\to\infty}q_m=0\), dass \(\lVert q_m\rVert\to0\) gilt.

Mit Deinem Hinweis korrigiere ich sogar noch: Man muss nicht mal eine geometrische Reihe wirklich ausrechnen.

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