Ist Funktion g:ℕ→ℕ definiert durch h(x)=2^x, für alle x∈ℕ ein Homomorphismus?

Question

Sei g:ℕ→ℕ definiert durch h(x)=2^x, für alle x∈ℕ.

1. Ist g ein Homomorphismus von (ℕ, +) auf (ℕ, +)?

2. Ist g ein Homomorphismus von (ℕ, +) auf (ℕ, ·)?

Comments

Schau dir doch erstmal die Antwort auf die vorige Frage an. Das ist kein Hexenwerk.

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Sei h: ℕ->ℕ definiert durch h(x)=2^x,für alle x ∈ ℕ

(i) Ist h ein h Homomorphismus von (ℕ,  +) auf (ℕ, +) ?

(ii) Ist h ein h Homomorphismus von (ℕ,  +) auf (ℕ, ·) ?

Schonmal danke :)

lg Saskia

Answer 1

Hallo Saskia,

1)  Ist g ein Homomorphismus von (ℕ, +) auf (ℕ, +)?

Es müsste g(x+y) = g(x) + g(y) gelten:

Gegenbeispiel:

wegen g(2) + g(3)  =  e² + e³  ≠  e⁵  =  g(2+3)  

→  g ist kein Homomorphismus von (ℕ, +) auf (ℕ, +)

2)  Ist g ein Homomorphismus von (ℕ, +) auf (ℕ, ·)? 

Es muss g(x+y) = g(x) • g(y) gelten:

g(x) • g(y) = e^x • e^y = e^x+y = g(x+y) 

→  Ist g ein Homomorphismus von (ℕ, +) auf (ℕ, ·)

Gruß Wolfgang

Comments

Ich danke dir Wolfgang!

Lg Saskia

Answer 2

h(x+y) = 2^x+y  = 2^x  *  2^y  = h(x) * h(y)

also ist das 2. ein Hom. und einen Gegenbeispiel für 1. findest du leicht

nimm mal h( 2+3) = ..