Frage: Linearität der Ableitung von Polynomen. Beweis

Question

hallo

Es sei \( \mathbb{R}_{n}[x]:=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n} | a_{i} \in \mathbb{R} \forall i \in\{0,1,2, \ldots, n\}\right\} \) der
R-Vektorraum aller Polynome mit reellen Koeffizienten, deren Grad kleiner oder gleich \( n \) ist. Die Abbildung
$$ \begin{array}{l} {f: \mathbb{R}_{n}[x] \rightarrow \mathbb{R}_{n-1}[x]} \\ {a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n} \mapsto a_{1}+2 a_{2} x+3 a_{3} x^{2}+\cdots+n a_{n} x^{n-1}} \end{array} $$
wird die Ableitung des Polynoms \( p \in \mathbb{R}_{n}[x] \) nach der Unbekannten \( x \) genannt.
(i) Zeigen Sie, dass \( f \) linear ist.

Um die Linearität einer Abbildung zu zeigen, muss ich doch folgendes überprüfen:

ƒ(αx+βy) = αƒ(x) +βƒ(y)

wie mache ich das für die  Abbildung (oben)?

Comments

Du sollst mE zeigen

(a*f(x) + b*g(x))' = a* f'(x) + b*g '(x) 

Answer 1

du brauchst im Grunde nur Assoziativ- und Distributivgesetz für reelle Zahlen und ein bisschen abkürzende Notation:

Seien \(p,q \in \mathbb{R}_n[x] \), mit \( p = \sum \limits_{k=0}^n a_kx^k\) und \( q = \sum \limits_{k=0}^n b_kx^k \).

Für zwei reelle Zahlen \(\alpha, \beta\) hast du dann:

$$ \alpha p + \beta q = \sum_{k=0}^n (\alpha a_k+\beta b_k)x^k$$

und nun überprüfst du mit deinem Ansatz.

Gruß

Comments

so richtig?

$$ D (αp+βq)= D(\sum_{k=0}^{n}({αa_k+βb_k})x^k) $$
$$  =\sum_{k=1}^{n}k({αa_k+βb_k}){x}^{k-1} $$
$$  =\sum_{k=1}^{n}k{αa_k {x}^{k-1}}+\sum_{k=1}^{n}k{βb_k {x}^{k-1}} $$
$$  =α\sum_{k=1}^{n}k{a_k {x}^{k-1}}+β\sum_{k=1}^{n}k{b_k {x}^{k-1}} $$
$$  =α D(\sum_{k=0}^{n}{a_k {x}^{k}})+β D(\sum_{k=0}^{n}{b_k {x}^{k}}) $$

$$  =α D(p)+ β D(q)) $$


wie bestimme ich nun den Kern?

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Sehr schön, wobei in der Aufgabe die Ableitungsabbildung mit \(f\) benannt wurde, aber meinetwegen nennen wir sie \(D\) :).
Eigentlich einfach nur mit der Definition. Du kannst nachrechnen bzw. mit der Vektorraumstruktur argumentieren für welche Polynome \(p \in \mathbb{R}_n[x]\) gilt:
$$ D(p) = 0$$In Worten: Welche Polynome mit höchstens grad n ergeben abgeleitet das Nullpolynom (Die Antwort darauf kennst du bestimmt bereits ;) ).

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eine (bzw. mehrere) Konstante(n) :)

wie rechne sowas nach?

Geht das so:

Sei 1 ≤ k ≤ n.

D (p) = 0

$$  ⇔ \sum_{k=1}^{n}k{a_k{x}^{k-1}}=0$$

daraus folgt, dass jeder Summand Null ergeben muss.
Also:

$$ k{a_k{x}^{k-1}}=0$$

und das ist erfüllt, wenn a_k = 0  ist.

Der Kern besteht somit aus allen Konstanten.

so ok?

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Vor allem muss die Gleichung ja für alle \(x \in \mathbb{R} \) erfüllt sein. Damit sind die \(a_k =0\) für \(1\leq k \leq n\). Die \(a_0\) können beliebig sein.
Somit: \(D= \{ a_0| a_0 \in \mathbb{R} \} \).

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Dankeee!

du hattest geschrieben gehabt, dass man auch mit der Vektorraumstruktur argumentieren könnte.

Ich würde gern auch dieses Vorgehen sehen. Es gibt ja die acht Vektorraumaxiome. Welches Axiom wäre für die Argumentation relevant?

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Ich meinte damit: Die Polynome \(1, x, x^2, .., x^n\) bilden eine Basis von \(\mathbb{R}_n[X]\) und sind insbesondere linear unabhängig. Vergleiche doch mal die Definition von linearer Unabhängigkeit mit deiner Gleichung in deinem vorletzten Kommentar.