extrema einer funktion mit 2 variablen. f(x,y) = x^2 - cos(y)

Question

Hallo ich habe die Aufgabe : ich kann eine partielle Ableitung durchführen und daraus den Gradienten berechnen setze ich diesen Null ergibt sich mein Extrema soweit ich weiß.  Da bekommt ich ( 0 ,arcsin (0)) .Bei einer Hesse Matrix muss ich weitere Ableitungen machen fix fxy fyx fyy . Determinante ist fxx *fyy da steht bei mir 2cos (y) .

Was sagt mir das aus über die Art des Extrema.  Ich kann nicht eindeutig unterscheiden ob der Wert nun negativ positiv oder null ist.  Muss ich eine fall Unterscheidung machen ? Und passt mein Extrema?  

Answer 1

f(x,y) = x² - cos(y)

f_x = 2x = 0   →  x = 0 

f_y = sin(y) = 0  →   y = k • π   mit k∈ℤ

→ stationäre Punkte  ( 0 | k•π)   mit  mit k∈ℤ 

f_xy = 0 , f_xx = 2 , f_yy = cos y

Det = f_xx •  f_yy - f_xy²  =  2 • cos(y) - 0 = 2 • cos(y) 

Det = 2 für k∈ℤ, k gerade →   (0 | k•π)  ist Extrempunkt für gerade k∈ℤ,

f_xx = 2>0 → Minimum  

Det = -2 für k∈ℤ, k ungerade →   (0 | k•π)  ist Sattelpunkt für ungerade k∈ℤ,

Gruß Wolfgang

Comments

Dankeschön für deine ausführliche Antwort!

Du wilst also hinaus auf die Nullstellen bei einem gabzzahligem vielfachen von pi . Cool das charakterisiert das gut .

Noch eine kurze Frage für den Spezialfall bei pi/2 ,3pi/2 .. , die Nullstellen des cosinus ergibt die Determinante 0 . Was passiert dann ? Keine Aussage ?

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Das sind keine ganzahligen Vielfachen von π  (k∈ℤ)

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Achso ich dachte es weil ichs mit dem Smartphone aufgemacht habe und nicht sehen konnte welche Zahlenmenge hier erwähnt wurde :)