Beweis: Stetigkeit von x^{2} + 1:

Question

Hi,

für den Beweis ist wichtig: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈D: |x - x₀| < δ => |f(x)- f(x₀)| < ε

f(x) = { x² + 1, x ≥ 1;

                 √(5-x), x < 1

Voraussetzung: Sei x ≥ 1.
Behauptung: Die Funktion f(x) mit x ≥ 1 ist stetig.

Ich habe das Kapitel Stetigkeit noch lange nicht erreicht, würde mich aber gerne mal an dem Beweis versuchen.

Beweis:
| x² + 1 - (x²₀ + 1)| <=> |x² - x²₀| <=> |x|*|x| - |x₀|*|x₀| <=> (x + x₀)(x - x₀).
Wir wissen, |x - x₀| < δ. Also folgt nun (x + x₀)δ = ε. Wähle δ = ε/((x + x₀))
|x² - x²₀| = |x|*|x| - |x₀|*|x₀| = (x + x₀)(x - x₀) < (x + x₀)δ = ε.

LG

Comments

Deine Behandlung der Betraege ist total daneben, die Aequivalenzzeichen haben hier nichts zu suchen, und \(\delta\) haengt von \(\epsilon\) und \(x_0\) ab, aber natuerlich nicht von \(x\). Warte lieber, bis Du das Kapitel Stetigkeit erreicht hast, sprich: alles vorher gelesen und verstanden.

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rein aus Interesse: Wie wäre der Beweis richtig?

LG

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\(\epsilon\)-\(\delta\) wuerde man in dem Beispiel mit einer zusammengesetzten Funktion eh meiden, weil zu kompliziert. Das rechne ich Dir nicht vor. Man wuerde stattdessen mit dem Grenzwert-Kriterium für Stetigkeit argumentieren.

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Nochmal:

|x² + 1 - (x²₀ + 1)| = |x² - x²₀| = | |x-x₀| * |x+x₀| | < | δ|x+x₀| |

= δ(|x + x₀ + x₀ - x₀|) = δ(|x - x₀| + 2|x₀|) = δ(|δ| + 2|x₀|) = δ² + δ2|x₀| = ε

Daraus folgt δ² + δ2|x₀| - ε = 0 und somit (PQ-Formel) δ_1,2 = -|x₀| +- √(|x₀|² + ε).

Wähle δ = -|x₀| +- √(|x₀|² + ε).

q.e.d.

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Alles klar, vielen dank für den Tipp!

LG

Answer 1

Deine Berechnung in den Kommentaren ist korrekt