Rotationsvolumen Füllhöhe berechnen

Question

1. Für eine Restaurantkette soll eine rotationssymmetrische Wasserkaraffe aus dünnwandigem Glas hergestellt werden, deren Profil dem Graphen einer ganzrationalen FUnktion dritten Grads entspricht (s. Abbildung). Die Funktion lautet: K(x)= 1/768x^3 -3/64x^3+5/12x+3

  Der Boden der Wasserkaraffe liegt bei x=0. 

(Alle Angaben in Zemtimeter) 
1.3 Die Karaffen sollen nur bis Höhe von 25 cm gefüllt werden. 
Bestimmen Sie das Fassungsvermgen der Karaffe bei dieser Füllhöhe.

Das habe ich gemacht, also das Integral von 0 bis 25 und halt quadrieren und mal pi, da Rotationsvolumen...

Nur bei der folgenden Frage komme ich nicht weiter... Eigentlich müsste ich doch jetzt die obere Grenze rausfinden oder? Ich weiß aber leider nicht, wie ich das aufschreiben soll, damit ich zu einem Ergebnis komme

 Bestimmen Sie auch die Füllhöhe für eine Wassermenge von einem halben Liter. 

Answer 1

∫ (0 bis 25) (pi·(1/768·x^3 - 3/64·x^2 + 5/12·x + 3)^2) dx = 992.5 ml = 0.9925 l

∫ (0 bis s) (pi·(1/768·x^3 - 3/64·x^2 + 5/12·x + 3)^2) dx = 500 --> s = 10.75 cm

Wobei ich die 10.75 nur durch ein Näherungsverfahren berechnet habe.

Answer 2

Fehlerhinweis
K(x)= 1/768x³ -3/64x³+5/12x+3
K(x)= 1/768x³ -3/64x²+5/12x+3

Das habe ich gemacht, also das Integral von 0 bis 25 und
halt quadrieren und mal pi, da Rotationsvolumen...

Die richtige Reihenfolge wäre

K(x)= 1/768x³ -3/64x²+5/12x+3

Der Funktionswert ist der Radius des Rotationskörpers.
Die Fläche ist
A ( x ) = [ K ( x ) ]^2 * π
Stammfunktion
∫ A ( x ) dx
Volumen
V ( x ) = Stammfunktion zwischen 0 und 25

b.)
V ( x ) = 500 cm^3 =  Stammfunktion zwischen 0 und b
Geht über ein Näherungsverfahren. siehe Antwort mathecoach.

Comments

Danke:)

Welches Näherungsverfahren brauche ich bei der b? Ich habe die quadrierte Stammfunktion mal pi in den TS eingegeben und es mit Solve versucht, aber da bekomme ich das Ergebnis nicht raus.

---

Es handelt sich um eine Abituraufgabe....wir haben im Unterricht aber nur aufgaben gemacht, wo man das leicht errechnen konnte...

Mit Näherungsverfahren leider gar nicht

---

Die Lösung läßt sich mit dem Newton-Verfahren bestimmen.
Dies aber über das Internet erklären zu wollen ist nicht möglich.

War diese Aufgabe eine Hausaufgabe ? Wird sie im Unterricht noch
besprochen ?

Ansonsten könnte es sich um eine Abituraufgabe handeln bei der der
Einsatz eines GTR oder CAS Computerprogramms erlaubt ist.
Siehe meine Antwort.

Plage dich nicht allzulange mehr damit herum.

mfg Georg