Mit Koordinatenrechnung zeigen, dass Matrizen Basis von U bilden

Question

Ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll , oder berechnen. Ich kenne die Lösung nur bin ich verwirrt wieso das so ist. Laut Lösung muss ich erst mal auf das LGS : 101
                                                                                             111
                                                                                             011           kommen . Aber wie ?  

Answer 1

Du meist zwei Dinge zeigen:

1. Die drei Matrizen sind linear unabhängig:

$${ \lambda  }_{ 1 }\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) +{ { \lambda  }_{ 2 } }\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right) +{ \lambda  }_{ 3 }\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$

2. Jede Matrix aus U lässt sich durch diese drei Matrizen erzeugen:

$${ \lambda  }_{ 1 }\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} \right) +{ { \lambda  }_{ 2 } }\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right) +{ \lambda  }_{ 3 }\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix}  { u }_{ 1 } & { u }_{ 2}  & { u }_{ 3 }  \\ { u }_{ 3 }  & { u }_{ 1 }  & { u }_{ 2 }  \end{matrix} \right) $$

Das machst Du über die Koordinatengleichungen: Bei (1.) muss rauskommen, dass alle Lambdas 0 sind.

Bei (2.) bekommst Du für die Lambdas Werte in Abhängigkeit von den u.