Extremalprobleme bei Exponentialfunktionen

Question

Gegeben sind die Funktionen f(x)=e^-x und g(x)=-e^x-1

Für welchen Wert von x wird die Differenz der Funktionswert von f und g minimal?

Answer 1

d(x) =f(x) -g(x)

d(x)= e^{-x} +e^x +1

d'(x)=e^x -e^{-x} =0

e^x =e^{-x}  |e^{x}

e^{2x}=1

2x *ln(e)=ln(1)

x=0

d''(x)= e^{-x} +e^{x}

Den Wert 0 eingesetzt, ergibt:

d''(0)=2 > 0->Minimum

Comments

e^x =e^-x  |e^x

e^2x=1

2x *ln(e)=ln(1)

x=0

nur so zur Abkürzung

e^x =e^-x | die Exponenten müssen gleich sein
x = -x
x = 0

mfg Georg