erste Ableitung von e - Funktion

Question

Diese e-Funktionen bringen mich zur Verzweiflung.

Also ich habe die Funktion

f(t) = 0,3+35*(1-2*e^-0,02*t+e^-0,04*t) und muss ableiten. Meine Frage muss ich hier jetzt die Produktregel anwenden?

also u'*v+u*v'

wäre dann

u=0,3+35

u'=0

v=1-2*e^-0,02+e^-0,04*t

v'=-0,02*e^-0,02+(-0,04)*e^-0,04*t

f'(t) =0*(1-2*e^-0,02+e^-0,04*t) + 0,3+35*(-0,02*e^-0,02*t+(-0,04)*e^-0,04*t)

       =0+0,3-0,7*e^-0,02*t-1,4*e^-0,04*t

       =1,8(e^-0,02*t-e^-0,04*t)                  ???????????

Für jeden der mir helfen mag, vielen lieben Dank:)!

Answer 1

Dein gegebener Term ist zunächst einmal eine Summe aus 0,3 und einem Restterm.

Summen werden summandenweise abgeleitet. Die Ableitung des konstanten Summanden 0,3 ist 0.

Die Ableitung des ursprünglich gegebenen Terms ist also: 

f ' ( t ) = 0 + [ 35 * ( 1 - 2 * e ^ ( - 0,02 * t ) + e ^ ( - 0,04 * t ) ) ] '

Der zweite Summand wiederum ist ein Produkt aus dem konstanten Faktor 35 und einem Restterm. Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten, also kann der Faktor 35 vor die Ableitung gezogen werden: 

= 35 * [ 1 - 2 * e ^ ( - 0,02 * t ) + e ^ ( - 0,04 * t ) ] '

Der hier noch abzuleitende Term in eckigen Klammern ist wieder eine Summe, es wird also wieder summandenweise abgeleitet:

= 35 * ( [ 1 ] '  -  [ 2 * e ^ ( - 0,02 * t ) ] ' + [ e ^ ( - 0,04 * t ) ] ' )

= 35 * ( - [ 2 * e ^ ( - 0,02 * t ) ] ' + [ e ^ ( - 0,04 * t ) ] ' )

Bei der ersten e-Funktion zieht man den konstanten Faktor 2 wieder heraus:

= 35 * ( - 2 * [ e ^ ( - 0,02 * t ) ] ' + [ e ^ ( - 0,04 * t ) ] ' )

und bildet die beiden nun noch verbliebenen Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel:

= 35 * ( - 2 * ( - 0,02 * e ^ ( - 0,02 * t ) ) + ( - 0,04 * e ^ ( - 0,04 * t ) ) )

= 35 * ( 0,04 * e ^ ( - 0,02 * t ) - 0,04 * e ^ ( - 0,04 * t ) )

= 35 * 0,04 * ( e ^ ( - 0,02 * t ) - e ^ ( - 0,04 * t ) )

= 1,4 * ( e ^ ( - 0,02 * t ) - e ^ ( - 0,04 * t ) )

Comments

Vielen lieben Dank, das ist wirklich sau stark erklärt.

Vielleicht könntest du mir noch mal weiter helfen.

Ich muss jetzt die Extrema bestimmen.

Also

notwendige Bed. f`(t)=0

f`(t)=1,4*(e^{-0,02*t}-e^{-0,04*t}=0 |:(e^{-0,02*t}-e^{-0,04*t})

       1,4=0 ??? aber das wäre doch kein Lösung. Darf ich das so überhaupt machen?

und die zweite Ableitung wäre dann:

f``(t)= 1,4*((-0,02)*e^{-0,02*t}-(-0,04)*-e^{-0,04*t}

       =1,4*(-0,02+0,04)*(e^{-0,02*t}-e^{-0,04*t}

       =0,028*(e^{-0,02*t}-e^{-0,04*t}???

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Die erste Ableitung f ' ( t ) ist ein Produkt aus den Faktoren 1,4 und ( e ^{- 0,02 * t} - e ^{- 0,04 * t )}

Ein Produkt aber ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren gleich Null ist. Also:

 

f ' ( t ) = 0

<=> 1,4 = 0 (das ist immer falsch) ODER e  ^{- 0,02 * t}  - e  ^{- 0,04 * t}  = 0

<=> e  ^{- 0,02 * t}  = e ^{- 0,04 * t}

Exponentenvergleich:

<=> - 0,02 * t = - 0,04 * t

<=> 0,02 * t = 0

<=> t = 0

Also ist t = 0 die einzige Nullstelle von f ' ( t )

Und so sieht die Funktion f ( t ) aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.3%2B35*%281-2*e%5E%28-0.02*t%29%2Be%5E%28-0.04*t%29%29+from+-10to10

(Na, hoffentlich klappt das mit dem Link ...)

Man erkennt das lokale Minimum bei t = 0.

 

Zur zweiten Ableitung: Da hast du dich in deiner zweiten Zeile ziemlich verhauen. Die e-Funktionen haben ja verschiedene Exponenten, da kannst du nicht einfach deren Vorfaktoren ausklammern ...

Richtig ist es so:

f ' ' ( t ) = 1,4 * ( - 0,02 * e ^{- 0,02 * t}  - ( - 0,04 ) * e ^{- 0,04 * t} ) )

= 0,056 * e ^{- 0,04 * t} - 0,028 * e ^{- 0,02 * t}

Wenn man will, kann man dann noch den Faktor 0,028 ausklammern:

= 0,028 * ( 2 * e ^{- 0,04 * t} - e ^{- 0,02 * t} )

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Echt, mehr als vielen Dank!

Ich bin wirklich eine Null in Mathe, aber du hast ein händchen zum erklären, du wählst Worte die auch mal in meinem Kopf einen Sinn geben!

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Vielen Dank für die freundlichen Worte. Ich freue mich, dass ich dir helfen konnte :-)

Answer 2

f(t) = 0.3 + 35·(1 - 2·e^{- 0.02·t} + e^{- 0.04·t})

Ich sehe hier kein Produkt sondern nur einen konstanten Faktor 35. Dann bleibt 35 enthalten und man leitet nur die Klammer ab.

f'(t) = 0 + 35·(0 + e^{- 0.02·t}/25 - e^{- 0.04·t}/25) = 7/5·(e^{- 0.02·t} - e^{- 0.04·t})

Comments

Bestimmt eine blöde Frage, aber warum 25?

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Nach Kettenregel kommt ja die innere Ableitung als Faktor dazu.