Warum ist (-1)/(-2) keine Rationale Zahl

Question

1/2 ist eine rationale Zahl,

1/2 = (-1/-2)

(-1/-2) ist keine rationale Zahl

 

Voraussetzung für eine rationale Zahl: {m/n;    m € Z, n € N}

Comments

Ich hätte die Frage besser anders stellen sollen:

Warum wird eine rationale Zahl nicht so definiert?

{m/n;    m € Z, n € Z}

Also warum muss im Nenner eine Natürliche Zahl stehen?

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Rational heißt eine Zahl die sich als Quotient z/n schreiben lässt wobei  z € Z, n € N+.

-z/-n können wir aber auch schreiben als z/n und sie fällt damit auch in die Rationalen Zahlen. Eine Rationale Zahl muß nicht zwangsläufig als Bruch geschrieben werden. Sie kann es aber.

Answer 1

> 1/2 ist eine rationale Zahl,

 

Ja.

> (-1/-2) ist keine rationale Zahl

 

Doch, auch das ist eine rationale Zahl.

 

> Voraussetzung für eine rationale Zahl: {m/n;    m € Z, n € N}

 

Das ist eine Art, wie man die Menge der rationalen Zahlen hinschreiben kann.

 

Definition: Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen läßt.

Man beachte, dass hier nicht vorausgesetzt wird, wie die Zahl dasteht (wie ich sie hingeschrieben habe), sondern eben nur, dass sie sich als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen läßt.

4 = 4/1 die 4 läßt sich so darstellen, also ist sie rational.

In der Mengendarstellung {m/n;    m € Z, n € N} ist es nicht nötig, für n auch negative Zahlen zuzulassen, denn wenn n negativ ist, kann ich den Bruch mit -1 erweitern und erhalte einen Bruch mit positivem Nenner. Dass man Brüche erweitern und kürzen kann, ist in dieser Mengendarstellung schon vorausgesetzt.

{m/n;    m € Z, n € N} = {m/n;    m € Z, n € Z\\{0}} = {m/n;    m € N0, n € Z\\{0}} (N0: natürliche Zahlen incl. der 0)

= {m/n;    m € Z, n € N, m und n teilerfremd} = ...

Alles dieselbe Menge.

> Also warum muss im Nenner eine Natürliche Zahl stehen?

 

Muss nicht. Aber man kann jeden gewöhnlichen Bruch so kürzen oder erweitern, dass im Nenner eine natürliche Zahl steht. Daher reicht das.

Answer 2

Ich würde klar sagen das (-1)/(-2) eine rationale Zahl ist. 

(-1)/(-2) = 0,5 = 1/2

Weil sich der Wert des Ausdrucks also auch schreiben lässt als 1/2.

Wenn ich frage ob Wurzel(4) eine rationale Zahl ist müsste es ja auch ja heißen, obwohl hier kein Bruch gegeben ist.

 

Answer 3

Das ist zwar ein netter "Taschenspielertrick" aber nicht ganz richtig, weil du die Ausdrücke Term und Zahl verwechselt:

 

Ein Term ist eine Aneinanderreihung von Zahlen und Rechensymbolen, der selbst wieder eine Zahl repräsentiert - aber nicht diese Zahl ist!

2-3 ist z.B. ein Term, -1 dagegen ist eine Zahl.

Der Term 2-3 repräsentiert die Zahl -1, trotzdem sind beide nicht identisch.

 

Man kann Terme aber äquivalent umformen - die Zahl, die sie repräsentieren bleibt dabei die gleiche.

 

So repräsentiert der Term (-1)/(-2) noch immer die Zahl 1/2, ist also eine rationale Zahl.

 

Ein Schwierigkeit liegt hier möglicherweise darin, dass 1/2 eigentlich auch ein Term ist - es gibt kein Symbol für die Zahl, die der Term 1/2 repräsentiert. Am nähesten kommt wohl die Dezimalschreibweise 0,5.

Answer 4

Woher kommt diese Behauptung (Definition)?

Normalerweise sind alle Zahlen rational, wenn sie sich als m/n schreiben lassen und gilt  m € Z, n € N.

Man muss also normalerweise nur (-1)/(-2) umformen auf 1/2     . Somit m=1 und n=2. Also handelte es sich um eine rationale Zahl.

Die einzige Argumentation, die ich mir für diese Behauptung (nicht rationale Zahl) denken kann, ist, dass man sagt, dass (-1)/(-2) keine Zahl ist. Man will vielleicht in einem Resultat nicht so viele negative Zahlen, um nicht jedesmal nachrechnen zu müssen, ob das dasselbe wie 1/2 ist.

 

Comments

Aber warum gilt: m € Z, n € N

Und nicht: m € Z, n € Z   ?

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m € Z, n € N ist mE einfach Konvention. So gibt es nicht von Anfang an immer mehrere Schreibweisen.

Ist natürlich bei Brüchen nur eine relative Einschränkung. Umgekürzte Brüche 2/4, 3/6, … sind ja gemäss Definition auch nicht verboten.

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Ok, danke

also liege ich nicht falsch, wenn ich behaupte, dass z.B. 2/(-3) eine rationale Zahl ist?

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Sag besser 2/(-3) ist rational. 2/(-3) ist sicher nicht irrational.

Mir ist noch eingefallen, dass du bei deinem m € Z, n € Z   noch die 0 im Nenner ausschliessen müsstest.

Streng genommen wäre ja nicht mal 4 eine rationale Zahl. Erst wenn 4 als  4/1 geschrieben wird. Das wird dann absurd.

Answer 5

ℤ= alle natürliche Zahlen

ℚ= alle Brüche und 0

 

Somit müsste dein obengenannter Bruch schon ein rationaler sein..., vorallem weil sich die zwei Minus wegkürzen lassen...