(1+i)^{4n+3} für n aus N angeben

Question

Die Aufgabe lautet:

Geben sie $$ {(1+i)}^{4n+3} $$ für alle n  aus den natürlichen Zahlen inklusive der {0}. Beweisen sie ihre behauptung.

Meine Ideen:

Als erstes etwas umformen:

$$ {(1+i)*(1+i)}^{4n+2} $$

Man weiss ja, dass 4n+2 gerade ist und  $$(1+i)^{2}=2i$$

Damit ergibt sich:

$$(2i)^{2n+1}*(1+i)$$

In Abhängigkeit des n alterniert das Vorzeichen:

a) für gerade n

$$ 2^{2n+1}*i-2^{2n+1}$$

b)für ungerade n

$$ 2^{2n+1}*i+2^{2n+1}$$

Reicht das als Lösung?

P.S. Bin neu hier und kenne mich mit der TeX eingabe wenig aus. Nehme dahher gerne Tipps an, wie man diese Frage mit Lösung hätte besser schreiben können  ( z.B. Funktionsvorschriftaufspaltung durch große "{", welche ich leider nicht gefunden habe, oder die Formeln im Text, bei mir irgendwie immer  eine Zeile drunter).

Answer 1

Vergleiche deine Antwort mal mit dieser hier: (-1)^n-12²ⁿ⁺¹)(i - 1)

Comments

Habe bei Meiner Antwort bei b) - vergessen, vor $$2^{2n+1}*i$$

Wo bei deiner Antwort $$(i - 1)$$ herkommt verstehe ich irgendwie nicht. Aber die Zweierpotenz ist gleich, also habe ich das schon mal richtig gemacht :)

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jb4133: Kontrolliere bitte deine Exponenten auf Klammerung. Irgendwas ist da schief.

Answer 2

Ok, ich schreib es etwas ausführlicher:

$$(1+i)^3 \cdot ((1+i)^2)^{2n}$$

Ergibt:

$$2i(i+1) \cdot (2i)^{2n}$$

Das vereinfacht sicht zu:

$$(i-1)  \cdot 2^{2n+1}$$ wenn n gerade

beziehungsweise:

$$(1-i)  \cdot 2^{2n+1}$$ wenn n ungerade. Entscheidend für das Vorzeichen ist nur der Term (i)^2n