Komme nicht auf Ergebnis aus Buch > Potenz mit Summen Term

Question

Ich mache gerade die Übungsaufgaben aus einem Mathebuch.

Bei einer Aufgabe komme ich nicht auf das gleiche Ergebnis, wie im Buch. Leider wird im Buch der Lösungsweg nicht angezeigt.

Die Aufgabe lautet wie folgt (im Grund nix Wildes):

(a^{4x}-a^4)/(a^{x-1}+1)

Mein Lösungsweg wäre:

= (a^{4x}-a^4)*(a^{-x+1}+1^{-1})

=a^{4x-x+1}+a^{4x-1}-a^{4-x+1}-a^{4-1}

=a^{3x+1}+a^{4x-1}-a^{5-x}-a^3

Im Buch  kommt jedoch: als Lösung: a^{3x+1}-a^{2x+2}+a^{x+3}-a^4

Liegt der Fehler nun im Buch oder bei mir?

Answer 1

es handelt sich bei \( (a^{4x} - a^4) / (a^{x-1} + 1) \) um eine Polynomdivision. Wenn du die Polynomdivision benutzt, dann kommt die Lösung aus dem Buch raus.

Dein Fehler ist, dass du die Rechenregel \( \frac{a}{b} = a \cdot b^{-1} \) angewendet hast, und im letzten Schritt nicht beachtet hast, dass \( (a^{x-1} + 1)^{-1} \neq (a^{-(x-1)} + 1^{-1}) \) ist.

Typischer Anfängerfehler. Die Potenzierung ist nicht distributiv: Es gilt allgemein fast immer

\( (a+b)^c \neq a^c + b^c \).

Und diese Aussage nochmal auf die Aufgabe angewendet:

\( (a^{4x} - a^4) / (a^{x-1} + 1) \)

\(= (a^{4x} - a^4) \cdot (a^{x-1} + 1)^{-1} \neq (a^{4x} - a^4) \cdot (a^{1-x} + 1^{-1}) \).

Schöne Grüße
Mister

Comments

Danke, ich werde es mal versuchen

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Könntest du mir das mal als Polynomdivision zeigen? Das wäre Super

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Hast du denn schon mal etwas von Polynomdivision gehört?

Answer 2

(a^4x-a⁴)/(a^x-1+1)

Comments

Danke für die Antwort.

Aber wie ist denn im Nenner die ^-1 verschwunden?

a^{x-1}+1 wurde zu (a^x+a)/a

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Answer 3

Bei Dir:(a^4x-a⁴)/(a^x-1+1)= (a^4x-a⁴)*(a^-x+1+1^-1)ist falsch.(a^4x-a⁴)/(a^x-1+1)= (a^2x-a²)(a^2x+a²)/(a^x-1+1)=   (a^x+a)(a^x-a)(a^2x+a²)/(a^x-1+1)a ausklammern und dann kürzen

Answer 4

Mein Lösungsweg wäre:

= (a^4x-a⁴)*(a^-x+1+1^-1)     Da liegt der Fehler, wenn schon, dann

= (a^4x-a⁴)*(a^x+1+1)^-1   Und die Klammer hoch -1 läßt sich nicht auflösen,

allerdings vorne  a^4 ausklammern gibt

=  a^4 * (a^4x-4- 1 ) /   (a^x+1+1)    und jetzt auf (a^4x-4- 1 ) die 3. binomi. Formel anwenden

=  a^4 * (a^2x-2- 1 ) (a^2x-2 +  1 ) /   (a^x+1+1)      und dann auf  (a^2x-2- 1 ) nochmal

=  a^4 * (a^x-1- 1 ) (a^x-1+1 ) (a^2x-2 +  1 ) /   (a^x+1+1)   jetzt den Nenner wegkürzen

=  a^4 * (a^x-1- 1 ) (a^2x-2 +  1 )

und wenn du hier die Klammern auflöst, gibt es auch das Ergebnis aus dem Buch.

Comments

Wie kann ich denn am Ende den Nenner wegkürzen?

=  a⁴ * (a^x-1- 1 ) (a^x-1+1 ) (a^2x-2 +  1 ) /   (a^x+1+1)   jetzt den Nenner wegkürzen

Answer 5

(a^4x-a⁴)/(a^x-1+1)        | 3. binomische Formel

= (a^2x -a^2)(a^2x + a^2) / (a^{x-1} + 1)          | 3. binomische Formel

= (a^x + a)(a^x - a) (a^2x + a^2) / (a^{x-1} + 1)       | a ausklammern

= a(a^{x-1} + 1)(a^x + a)(a^2x + a^2) / (a^{x-1} + 1)       | kürzen

= a(a^x + a)(a^2x + a^2)

Zuerst nachrechnen und dann, wenn du willst die Klammern noch auflösen.