Gerade ich kann. Zunächst mal. Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Es heißt nicht Partial-sondern Teilbruchzerlegung ( TZ )
Zu deiner Frage 2.) Wie tut man zwei ( oder mehr ) gebrochen rationale Funktionen ( GRF ) zusammen fassen? Das war im LMNTAR-Unterricht dran - indem man sie auf den HN bringt. Wir dagegen haben es hier mit zwei Verfahren zu tun, wie man GRF ( wieder ) " auseinander " fasst. Genau so, wie das Faktorisieren die zum Klammern Auflösen ( Distributivdgesetz ) inverse Operation ist. So könnte man den gemeinsamen HN als die zum Faktorisieren analoge Operation auffassen. Und zum Auflösen gibt es Polynomdivision ( PD ) so wie TZ . Aber jedes Verfahren hat seinen eigenen Anwendungsbereich; PD ist nur anwendbar, wenn Nennergrad < = Zählergrad. sonst TZ .
Es gibt da einen Existenz-und Eindeutigkeitssatz - bitte nachschlagen. TZ ist eine ( endliche ) Reihenentwicklung nach sämtlichen Polen des Nenners. Zunächst mal hat der Nenner die Wurzel x3 = 0 . Dann bleibt das Faktorpolynom
g ( x ) = x ² - p x + q ( 1a )
Beachte den Satz von Vieta
p = x1 + x2 = 3 ( 1b )
q = x1 x2 = 2 ( 1c )
Du bist ein Genie; du fragst nach einer Verknüpfung zwischen den Vorzeichen der Wurzeln und den Vorzeichen der Polynomkoeffizienten. Mach dich mal schlau über die ===> cartesische Vorzeichenregel ( CV ) In unserem Falle wird nämlich die notwendige Bedingung für zwei positive Wurzeln erreicht. Schau mal, was Pappi alles weiß
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Wikis Zuschreibung des SRN an Gauß stellt allerdings eine dreiste Fälschung dar; inzwischen bin ich schon sowas Ähnliches wie Gutachter für Fälschungen. Hier nur folgendes Argument. Wiki vermag keine Quelle zu benennen vor dem wahrscheinlichen Entdeckungsjahr 2006. Bist du schon Student? Dann allerdings sollte dir bekannt sein, dass die einzige ernst zu nehmende Literatur auf dem Gebiete der Algebra Artin ist bzw. v.d. Waerden ( 1930 ) Einen SRN wirst du dort vergebens suchen - 99.9 % der Lehrer und Profs haben denn auch noch nie von ihm gehört ( Ich dachte immer, Gauß ist Kult. )
Du hast verstanden, dass wir in ( 1c ) alle GANZZAHLIGEN Zerlegungen des Absolutgliedes 2 suchen, und da gibt s nicht viel Auswahl. Zusammen mit der hinreichenden Bedingung ( 1b ) finden wir
x1 = 1 ; x2 = 2 ( 2 )
Dann haben wir also die Zerlegung
1 / ( x
3 - 3 x
2 + 2 x ) = ( 3a )
= A / x + B ( x - 1 ) + C / ( x - 2 ) ( 3b )
Genau wie bei dem SRN bekommst du wieder eine aktuelle Neuigkeit; das Heer der ewig Gestrigen und Unverständigen blökt auch im Internet - selbst Wolfram; selbst Arndt Brünner - du müsstest dieses gekoppelte LGS lösen. Dabei separiert es; du kannst es quasi ortogonalisieren. Dieser Algoritmus hört auf den seltsamen Spitznamen " Abdecker-bzw. Zuhälterverfahren " Als offizielle Entdecker sind mir ===> Rotrhstein-Trager bekannt. Ich find's jetzt nicht online; spitz mal deinen Prof an. Ich selber verstand übrigens überhaupt nicht, was diese Herrschaften bezwecken. Und der Schlussteil der Arbeit hätte mir auch nie eingeleuchtet, wenn - ja wenn ich nicht unabhängig den Zuhälteralgoritmus entdeckt hätte . . . Einige Wenige kennen es; es findet sich auch schon in etlichen Skripten.
Wie gehst du vor? Angenommen du willst A berechnen in ( 3b ) Dann musst du nix weiter als x = 0 , die zugehörige Nullstelle, einsetzen in ( 3a )
Halt Stop; das geht ja gar nicht. Genau diese Polstelle wird ja singulär; da kommt nix Sinn volles bei raus. Eben deshalb tun wir mit der Hand diesen singulären Faktor x ABDECKEN ( Abdeckerverfahren ) oder ZUHALTEN ( Zuhälterverfahren ) Die GRF , welche nach dem Abdecken übrig bleibt, hört auf den stolzen Namen " Integralkern, adjungiert zu x = 0 " ; diesen Kern wollen wir mit dem Buchstaben G bezeichnen:
G ( x ; 0 ) = 1 / ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( 4a )
A = G ( 0 ; 0 ) = 1 / ( - 1 ) * ( - 2 ) = 1/2 ( 4b )
G ( x ; 1 ) = 1 / x ( x - 2 ) ( 4c )
B = G ( 1 ; 1 ) = 1 / 1 * ( 1 - 2 ) = ( - 1 ) ( 4d )
G ( x ; 2 ) = 1 / x ( x - 1 ) ( 4e )
C = G ( 2 ; 2 ) = 1 / 2 * ( 2 - 1 ) = 1/2 ( 4f )
( Seine Begründung findet dieses Verfahren in den ===> Residuen der ===> Funktionenteorie )
A und C sind gleich - Zufall? Hinter deiner Funktion verbirgt sich eine tiefe Symmetrie; setze mal
h := x - 1 ( 5a )
x = h + 1 ( 5b )
Das Nennerpolynom lautete doch
g ( x ) = x ( x - 1 ) ( x - 2 ) = ( 6a )
g ( h ) = ( h + 1 ) h ( h - 1 ) = ( 6b )
= h ( h ² - 1 ) ( 6c )
Wir haben Punktsymmetrie gegen die mittelste Nullstelle; und die überträgt sich natürlich auch auf die reziproke Funktion ( 3a )
f ( h ) = A / ( h - 1 ) + B / h + C / ( h + 1 ) ( 7a )
f ( - h ) = - A / ( h + 1 ) - B / h - C / ( h - 1 ) = - f ( h ) ( 7b )
Jetzt haben wir aber trivial in ( 7a )
- f ( h ) = - C / ( h + 1 ) - B / h - A / ( h - 1 ) ( 7c )
Da die TZ aber eindeutig ist, ist Koeffizientenvergleich zulässig zwischen ( 7b ) und ( 7c ) ; und das führt auf A = C
Jetzt muss ich aber ins ===> Schlaftürlein; denn sonst werde ich im ===> Kämmerleinletz mit einem Löffel Grießbrei bestraft ( Dafür können Kinderlein auch nicht von residuen träumen. )
Noch Fragen, Anregungen, Kommentare?
