Gute Erklärung zum Beweis der Konvergenz von rekursiven Folgen?

Question

Ich verstehe nicht so ganz wie man den Beweis mittels Induktion herstellt.

Ich weiß schon, was Beschränktheit und Monotonie bedeuten. Und auch wie vollständige Induktion funktioniert und wie man falls es ihn gibt, den Grenzwert berechnet..

Könnt ihr mit den Link zu einer guten Erklärung schicken, ich komme mit diesen Aufgaben nich wirklich gut zurecht.

Comments

Gib doch mal ein Beispiel für einen solchen Problemfall an.

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Also hier mal eine Beispielaufgabe:

a0= 2  an+1= an^2/2an-1 (n∈N0)

So es soll durch Monotonie und Beschränktheit gezeigt werden, dass die Folge konvergiert..

1. Grenze wert berechnen:

g=0 v g=1

2.Monotonie.

-Vermutung liegt nahe dass die folge monoton fallend ist.

an+1≤ an

an^2-an≥0   (für an> 1 ist sie fallen oder??)

Ich hab hier auch oft Ansätze über vollständige Induktion gesehen, wie macht man diese?

3. Beschränktheit:

Durch vollständige Induktion muss hier Beschränktheit nachgewiesen werden, aber wie ? und welchen Grenzwert nahm ich, ich hab doch zwei??

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Zeige zunächst per Induktion über \(n\), dass \(a_n>1\) für alle \(n\in\mathbb N_0\) gilt:$$a_{n+1}-1=\frac{a_n^{\,2}}{2a_n-1}-1=\frac{a_n^{\,2}-2a_n+1}{2a_n-1}=\frac{(a_n-1)^2}{2a_n-1}>0.$$

Answer 1

Monotonie: Da du schon fallend vermutest, würde ich es mit 

an - a_n+1  >  0  versuchen. Und über die Rekursion hats du doch

an - a_n+1 = a_n - a_n² / ( 2a_n - 1 )

              = a_n * ( 1 - a_n / ( 2a_n - 1 ))

=  a_n * (   ( 2a_n - 1 )/ ( 2a_n - 1 )   -  a_n / ( 2a_n - 1 )     )

= a_n * (  a_n - 1 ) /  ( 2a_n - 1 )    und wegen a_n>1 sind beide Faktoren und auch der

Nenner positiv, also der ganze Term positiv.

Und Beschränktheit hast du ja schon im Kommentar.

Bei den Grenzwerten ist g=0 nur eine scheinbare Lösung; denn wegen a_n>1 kann das nicht sein.