Optimierung Flächeninhalt vom Rechteck im Kreis berechnen

Question

ich habe versucht eine Aufgabe zu lösen "Determinier the area of the largest rectangle that can be inscribed in a circle of a radius 4."

Im Anhang habe ich Ihnen meine Lösung geschickt und die dazu gehörigen Formeln.

Da muss irgendwo ein Fehler sein. Ich wollte den Flächeninhalt vom Rechteck berechnen. Aber sowohl a als auch b haben dieselbe Größe und das kann ja beim Rechteck nicht sein.

 

Comments

Das was du in dem fotoausschnitt gemacht hast ist krass falsch. Es ist nicht erlaubt aus der Summe die Wurzel zu ziehen.

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Ja danke für die Anmerkung und wie wäre es dann krass richtig? ;)

Answer 1

Der Kreis wurde in ein Koordinatenkreuz projeziert.
Es wird nur der 1.Quadrant betrachtet.
Der Kreis hat dann die Funktion
y = √ ( 4^2 - x^2 ) ( Pythagoras )

Differntialrechnung ist vonnöten

Es kommt das bereits bekannte Ergebnis heraus das ein
Quadrat mit der Seitenlänge √ 8 ( im ersten Quadranten )
das größte Rechteck ist.

Bei Bedarf wieder melden.

Comments

Ich habe mir noch notiert, dass A= max = a² 

Beschränkung= r= 4

a= √(r² + r²) 

a= √(4² + 4²) = 5,66 --> A_max= (5,66²)= 32

Leider verstehe ich nicht wie man auf diese Formel kommt: a= √(r² + r²) 

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Deine Aufgabe ist eine Extremwertaufgabe aus der Differentialrechnung.

Ich habe mir nicht durchgelesen wie du gerechnet hast:
Das ist mir zuviel Arbeit.

Wenn du Fragen zu meiner Berechnung hast kann ich dir Auskunft geben.

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Hallo :)

Wieso wird die 1. Ableitung der Wurzel in Klammern geschrieben bzw. wie kommen Sie auf diese Ableitung?

Vielen Dank!

LG

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Hallo Cevin,

es wurde bei der Ableitung die Tatsache verwendet das eine Funktion und die Wurzelfunktion an derselben Stelle den Hoch-
oder Tiefpunkt haben

a = √ term
Ableitung
a ´ = term´ / ( 2 * √ term )
Extrempunkt ist bei a ´= 0
Der Bruch ist dann 0 wenn der Zähler null ist
a ´ = term´ = 0

In meiner handschriftlichen Lösung wurde
das x zunächst in die Wurzel gebracht
um dann vereinfachend  für
[ ( x * √ term ) ] ´ ohne Produktregel oder
Ableitung einer Wurzelfunktion
für den Extrempunkt mit
( term ) ´ gerechnet.

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 2

Jedes Rechteck besteht aus zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken. Die größtmögliche Hypotenuse dieser Dreiecke innerhalb des Kreises mit Radius r=4 besitzt die Länge 2r=8. Die größtmögliche Höhe auf dieser Hypotenuse ist r=4 lang. Daher gilt für "the area of the largest rectangle that can be inscribed in a circle of a radius 4" A=2r*r=32.

Der Satz des Pythagoras muss nicht zum Einsatz kommen, ebenso ist "Differntialrechnung" nicht "vonnöten". Der Satz des Thales sichert die Rechtwinkligkeit.

Answer 3

Zielfunktion:

\(A(a,b)=a*b\) soll maximal werden

Nebenbedingung:

\( a{^2} +b^2=64\)→\( b^2=64-a^2\) → \( b=\sqrt{64-a^2}\)   -Wert entfällt.

\(A(a)=a*\sqrt{64-a^2}=\sqrt{64a^2-a^4}\)

\(A´(a)=\frac{128a-4a^3}{2\sqrt{64a^2-a^4}}=\frac{64a-2a^3}{\sqrt{64a^2-a^4}}\)

\(\frac{64a-2a^3}{\sqrt{64a^2-a^4}}=0\)

\(32a-a^3=0\)

\(a*(32-a^2)=0\)

\(a_1=0\) entfällt

\(a= \sqrt{32}=4*\sqrt{2} \)

\( b=\sqrt{64-32}=4*\sqrt{2}\)

\(A(4*\sqrt{2},4*\sqrt{2})=4*\sqrt{2}*4*\sqrt{2}=32FE\)