Grenzwert eines gebrochenrationalen Funktion - Brauche Hilfe

Question

Hallo libe Community,

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

$$\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { cos(x)-1 }{ { e }^{ x }+{ x }^{ 2 }-x-1 }$$

Leider weiss ich gar nicht wie ich anfangen soll, wenn ich x = 0 einsetze, kommt nix vernünftiges dabei raus:

$$\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \frac { cos(0)-1 }{ { e }^{ 0 }+{ 0 }^{ 2 }-0-1 } =\frac { 1-1 }{ 1-1 } =0$$

Lösung soll lauten: $$-\frac { 1 }{ 3 }$$

Jack

Answer 1

Nach der Regel von Hospital kannst du (bei "0/0") 2-mal den Zähler und den Nenner (jeden für sich) ableiten und dann den Grenzwert des Bruchs der Ableitungen bilden:

lim_x→0 f(x) = lim_x→0 \(\frac{-sin(x)}{e^x+2x-1}\)  = lim_x→0 \(\frac{-cos(x)}{e^x+2}\)  = -1/3

Gruß Wolfgang

Answer 2

Du hast hier den Ausdruck 0/0 und wendest L' Hospital an.

Nach 2 mal Ableiten bekommst Du das Ergebnis -1/3