Wie kommt man darauf, dass (-3x * cos(kx))/k |^π -π gleich (-3*pi*(-1)^k)/k ist?

Question

In einer Aufgabe muss man eine Fourierreihe entwickeln. Ich habe hier die alten Lösungen einer Kommilitonin und sie hat hier ein bestimmtes Integral berechnet:

\( -\left.3 x \cdot \frac{\cos (k x)}{k}\right|_{-\pi} ^{\pi} \)

Einen Schritt später hat sie dies dann umgeformt zu

\( \frac{-3 \pi \cdot(-1)^{k}}{k} \)

Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht verstehe wie sie darauf gekommen ist. Kann mir das bitte einer erklären?

Answer 1

Wenn ich k und -k einsetze komme ich zu

- 3·pi·COS(pi·k)/k - 3·pi·COS(pi·k)/k

Wenn wir das Zusammenfassen

- 6·pi/k·(cos(pi·k))

cos(pi*k) kann ich jetzt für k ∈ N vereinfachen zu (-1)^k

Ich komme auf
- 6·pi/k·(-1)^k

Vorausgesetzt k ∈ N. Ich verstehe aber nicht wo in der Lösung der Faktor 2 geblieben ist.

Comments

Du meinst vermutlich:

- 6·pi/k·(-1)^k

^{Wüsstest du, warum in der Lösung nur eine -3 steht?}

Wahrscheinlich geht's da noch weiter -- 3·pi/k·(cos(-1)^k) und gibt am Schluss - 6·pi/k·(cos(-1)^k)

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Genau. Wüsstest du, warum in der Lösung nur eine -3 steht?