Question

Ermittle Gleichungen der Tangenten vom Punkt Q aus an den Kreis k

k: (x-2)^2 + (y+8)^2 = 85

Q=(7/12)

Comments

EDIT: Fehler! Ich habe nicht kontrolliert, ob Q auf k liegt. Das stimmt leider nicht, wenn du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast.

Hier eine Möglichkeit den vorliegenden Fall zu behandeln: https://de.wikipedia.org/wiki/Pol_und_Polare

Der Rechenweg, für den Fall, dass Q doch auf k liegen sollte. (Natürlich dann einfach richtige Zahlen einsetzen).

k: (x-2)² + (y+8)² = 85 

Q=(7/12)

Die gesuchte Tangente steht senkrecht auf dem Radius des Kreises, der durch Q geht.

k: (x-2)² + (y+8)² = 85 

M(2 | -8)

Q(7/12)

Vektor MQ =  (5 | 20)

Senkrechter Vektor dazu ist (-20| 5) bzw. ( -4 | 1 )

Daher Tangentengleichung in Parameterdarstellung

t : r = (7|12) + s*( - 4 | 1) , s ∈ ℝ

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Falls du noch eine 2.Antwort brauchst dann bitte melden.
Ich schaue jetzt aber erst einmal fernsehen.

mfg Georg

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Mein Computer-Algebra-System meldet sehr schräge Koordinaten für die Berührpunkte.

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Mag sein das ich mich verrechnet habe. Aber als Berührpunkte habe ich

[x = -5 ∧ y = -2,

x = 11 ∧ y = -6]

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Stimmt, siehe meine Lösung mit Zeichnung.

Answer 1

Da Q außerhalb von k liegt, suchst du erst mal die Berührpunkte X der Tangenten

von Q an k.

Für die gilt in Vektorschreibweise

wenn m der Ortsvektor des Kreismittelpunktes und q der von Q ist

(x - m)*(q - m) = 0    und  da x auf dem Kreis liegt ( x-m)*(x-m)=85

zusammengefasst zur Polarengleichung 

(x - (2;-8)*( (7;12)-(2:-8)) = 85

mit Koordinaten:

(x-2 ; y+8) * ( 5 ; 20 ) = 85

5x-10 + 20y +160 = 85

5x + 20y +65 = 0

x + 4y + 13 = 0

y = -x/4 - 13/4   Das ist die Gl. der Polare, die die

beiden Berührpunkte der Tangenten verbindet.

Diese mit dem Kreis schneiden gibt

(x-2)² + ( -x/4 - 13/4  +8)² = 85

also x=11 oder x= - 5

also Berührpunkte

(11 ; -6 )     und  (  -5 ; -2 ).

Sieht dann so aus:

~draw~ ;kreis(2|-8 9.22);punkt(7|12 "Q");gerade(-13|0 1|-3);gerade(7|12 11|-6);gerade(7|12 -5|-2);zoom(17) ~draw~

Answer 2

Skizze um meine Rechnung zu bestätigen

Answer 3

Die Skizze zeigt die allgemeinen Gegebenheiten
einer Tangente an eine Funktion sowie die
Herleitung der Lösung.

Die einzige Unbekannte ist x1.

Answer 4

k: \((x-2)^2 + (y+8)^2 = 85\)

Q\((7|12)\)

Ein Bild zeigt einen Lösungsweg mit dem Thaleskreis:

Comments

Der schlimmstenfalls nur eine Näherung liefert.

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\(x^2-4x+y^2+16y=17\) schneidet Thaleskreis \(x^2-9x+y^2-4y=82\) in den beiden Berührpunkten.

\(x^2-4x+y^2+16y-17=x^2-9x+y^2-4y-82\)

\(x+4y=-13\)    →   \(x=-4y-13\)  in \(x^2-9x+y^2-4y=82\) einsetzen:

\((-4y-13)^2-9(-4y-13)+y^2-4y=82\)

\(y_1=-6\)           \(x_1=24-13=11\)

Tangente:

\( \frac{y+6}{x-11}=\frac{12+6}{7-11}=\frac{18}{-4}=- \frac{9}{2}\)

\( y+6=- \frac{9}{2}(x-11)=-4,5x+49,5\)

\( y=-4,5x+43,5\)

\(y_2=-2\)        \(x_2=8-13=-5\)

2. Tangente analog.