Flächenberechnung bestimmtes integral

Question

kann mir bitte jemand sagen wie das funktionier und auch ein beispiel rechnen weil ich leider kein Plan habe wie man das macht

Danke in voraus

Comments

Mache es genau gleich, wie bei der Nr. 3 in deiner vorherigen Frage:

https://www.mathelounge.de/325562/bestimmtes-integrieren-bitte-rechnungen-korrigieren-bsp

f(x) = 4 - x^2 = (2-x)(2+x)

Nullstellen x1 = 2 und x2 = -2

Integrationsgrenzen

a= -2 und b = 2.

Nun das bestimmte Integral ausrechnen.

Sollte etwas Negatives rauskommen, lässt du das Minus im Resultat weg.

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Danke

Answer 1

Du berechnest zuerst die Nullstellen,  damit du die integrationsgrenzen kennst.

4-x^2=0

x1=-2

x2=2

Dann die stammfunktion bestimmen.

F (x)= 4x-1/3*x^3

Dann die integrationsgrenzen einsetzen.

F (2)-F (-2) = 8-8/3 - (-8 +8/3)

= 8 - 8/3 +8 -8/3

= 16 - 16/3=32/3

Comments

In der "nicht so guten " Antwort zwei kannst du dir dann ansehen, wie das mit mehr als zwei Nullstellen funktioniert, wenn die Teilflächen zum Teil unter der x-Achse liegen :-)

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wie berechne ich c?

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Bei c) kannst du x^2 ausklammern.

x^2(x-4)

Die Nullstellen sind dann x1=0 und x2 = 4.

Answer 2

zuerst musst du mit der Gleichung  f(x) = 0  die Schnittstellen von f mit der x-Achse berechnen.

Dann musst du von einer Schnittstelle   zur nächsten  (z.B. x1 und x2) jeweils die Teilfläche  A_T  = | _x1∫^x2 f(x) dx | berechnen.

Beispiel g):   (nehmen wir nicht gerade das einfachste mit zwei Nullstellen)

f(x) = 1/3 • x³ -3x = 0  | • 3

x³ - 9x = 0

x • ( x² - 9) = 0

Nullproduktsatz:

x₁  = 0  , x₂ = 3 , x₃ = -3  sind die Schnittstellen (Integrationsgrenzen)

A = | _-3∫⁰  (1/3 • x³ -3x) dx | +  | ₀∫³  (1/3 • x³ -3x) dx | 

= 2 •  | _-3∫⁰  (1/3 • x³ -3x) dx |   wegen der Symmetrie der Funktion zum Ursprung

= 2 •  | [ 1/12 • x⁴ - 3/2 • x² ]₀³   in [ ... ] steht die Stammfunktion des Integranden

= 2 • | 1/12 • 3⁴ - 3/2 • 3² - 0 |

= 2 • | -27/4| = 27/2

Gruß Wolfgang